Tất cả các giá trị thực của tham số $m$ sao cho bất phương trình...

Đặt $t=\log x>0, \forall x\in \left( 1; +\infty \right)$, ta có: ${{t}^{2}}-mt+m+3\le 0 \left( * \right)$.
Tam thức vế trái có $\Delta ={{m}^{2}}-4m-12$.
+ Nếu $\Delta <0\Leftrightarrow -2<m<6$. Khi đó ${{t}^{2}}-mt+m+3>0, \forall t$. Bài toán không thỏa mãn.
+ Nếu $\Delta =0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-2 \\
& m=4 \\
\end{aligned} \right.$.
Với $m=-2\Rightarrow {{t}^{2}}+2t+1\le 0\Leftrightarrow {{\left( t+1 \right)}^{2}}\le 0$ vô nghiệm $\forall t>0$.
Với $m=6\Rightarrow {{t}^{2}}-6t+9\le 0\Leftrightarrow {{\left( t-3 \right)}^{2}}\le 0\Leftrightarrow t=3$ (thỏa mãn).
+ Nếu $\Delta >0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m<-2 \\
& m>6 \\
\end{aligned} \right. $. Khi đó tam thức có hai nghiệm phân biệt $ {{t}_{1}}<{{t}_{2}} $ và ta có $ {{t}^{2}}-mt+m+3\le 0\Leftrightarrow {{t}_{1}}\le t\le {{t}_{2}}$.
Để bất phương $\left( * \right)$ có nghiệm trong khoảng $\left( 0;+\infty \right)$ ta phải có ${{t}_{2}}>0$ hay
$\dfrac{m+\sqrt{{{m}^{2}}-4m-12}}{2}>0\Leftrightarrow \sqrt{{{m}^{2}}-4m-12}>-m$
Nếu $m>6$ bất phương trình thỏa mãn
Nếu $m<-2$. Khi đó $\sqrt{{{m}^{2}}-4m-12}>-m\Leftrightarrow {{m}^{2}}-4m-12>{{m}^{2}}\Leftrightarrow m<-3$.
Kết luận $m\in \left( -\infty ; -3 \right)\cup \left[ 6; +\infty \right)$.