Google
Câu hỏi: Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+m$ có hai điểm cực trị $A,B$ thỏa mãn $\widehat{AOB}=90{}^\circ $ ( với $O$ là gốc tọa độ ).
A. $m\in \left\{ -2; 0 \right\}$.
B. $m\in \left\{ 0 \right\}$.
C. $m\in \left\{ -4 \right\}$.
D. $m\in \left\{ -4; 0 \right\}$.
A. $m\in \left\{ -2; 0 \right\}$.
B. $m\in \left\{ 0 \right\}$.
C. $m\in \left\{ -4 \right\}$.
D. $m\in \left\{ -4; 0 \right\}$.
Ta có: $y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+m\Rightarrow {y}'=3{{x}^{2}}+6x$ ; ${y}'=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}+6x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=-2 \\
\end{aligned} \right.$
Hai điểm cực trị là: $A\left( 0; m \right), B\left( -2; m+4 \right)\Rightarrow \overrightarrow{OA}=\left( 0; m \right), \overrightarrow{OB}=\left( -2; m+4 \right).$
Từ giả thiết, $\widehat{AOB}=90{}^\circ \Rightarrow $ $\overrightarrow{OA} . \overrightarrow{OB}=0\Leftrightarrow 0.\left( -2 \right)+m.\left( m+4 \right)=0\Leftrightarrow m.\left( m+4 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=0 \\
& m=-4 \\
\end{aligned} \right.$.
& x=0 \\
& x=-2 \\
\end{aligned} \right.$
Hai điểm cực trị là: $A\left( 0; m \right), B\left( -2; m+4 \right)\Rightarrow \overrightarrow{OA}=\left( 0; m \right), \overrightarrow{OB}=\left( -2; m+4 \right).$
Từ giả thiết, $\widehat{AOB}=90{}^\circ \Rightarrow $ $\overrightarrow{OA} . \overrightarrow{OB}=0\Leftrightarrow 0.\left( -2 \right)+m.\left( m+4 \right)=0\Leftrightarrow m.\left( m+4 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=0 \\
& m=-4 \\
\end{aligned} \right.$.
Đáp án D.