Google
Câu hỏi: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ sao cho đồ thị hàm số $y={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+2{{m}^{4}}-m$ có ba điểm cực trị đều thuộc các trục toạ độ
A. $m=2$.
B. $m=3$.
C. $m=\dfrac{1}{2}$.
D. $m=1$.
A. $m=2$.
B. $m=3$.
C. $m=\dfrac{1}{2}$.
D. $m=1$.
Ta có ${y}'=4{{x}^{3}}-4mx=4x\left( {{x}^{2}}-m \right)$.
Xét ${y}'=0\Leftrightarrow 4x\left( {{x}^{2}}-m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& {{x}^{2}}=m \\
\end{aligned} \right.$.
Để đồ thị hàm số đã cho có 3 điểm cực trị thì $m>0$.
Khi đó toạ độ các điểm cực trị là $A\left( 0;2{{m}^{4}}-m \right),B\left( \sqrt{m};2{{m}^{4}}-{{m}^{2}}-m \right),C\left( -\sqrt{m};2{{m}^{4}}-{{m}^{2}}-m \right)$.
Ta có $A\in Oy$. Để $B,C\in Ox$ thì $2{{m}^{4}}-{{m}^{2}}-m=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=0 \\
& 2{{m}^{3}}-m-1=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=0 \\
& m=1 \\
\end{aligned} \right.$.
Do $m>0$ nên ta được $m=1$.
Xét ${y}'=0\Leftrightarrow 4x\left( {{x}^{2}}-m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& {{x}^{2}}=m \\
\end{aligned} \right.$.
Để đồ thị hàm số đã cho có 3 điểm cực trị thì $m>0$.
Khi đó toạ độ các điểm cực trị là $A\left( 0;2{{m}^{4}}-m \right),B\left( \sqrt{m};2{{m}^{4}}-{{m}^{2}}-m \right),C\left( -\sqrt{m};2{{m}^{4}}-{{m}^{2}}-m \right)$.
Ta có $A\in Oy$. Để $B,C\in Ox$ thì $2{{m}^{4}}-{{m}^{2}}-m=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=0 \\
& 2{{m}^{3}}-m-1=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=0 \\
& m=1 \\
\end{aligned} \right.$.
Do $m>0$ nên ta được $m=1$.
Đáp án D.