Tìm số giá trị nguyên của tham số thực $m$ để tồn tại các số thực...

Xét hàm số $f\left( t \right)={{e}^{t}}-t-1; \forall t\in \mathbb{R}$.
${f}'\left( t \right)={{e}^{t}}-1$ và ${f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=0$.
Ta thấy ${f}'\left( t \right)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ khi qua $t=0$ nên $f\left( t \right)\ge f\left( 0 \right)=0;\forall t\in \mathbb{R}$.
Do đó $\left\{ \begin{aligned}
& {{e}^{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-m}}-\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-m \right)-1\ge 0, \forall x,y\in \mathbb{R} \\
& {{e}^{x+y+xy-m}}-\left( x+y+xy-m \right)-1\ge 0, \forall x,y\in \mathbb{R} \\
\end{aligned} \right.$.
Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=m \\
& x+y+xy=m \\
\end{aligned} \right.$.
Hay ${{e}^{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-m}}+{{e}^{x+y+xy-m}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+x+y+xy-2m+2\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=m \left( 1 \right) \\
& x+y+xy=m \left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Đặt $S=x+y; P=x.y$, ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {{S}^{2}}-2P=m \\
& S+P=m \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{S}^{2}}-S-3P=0 $. Vì $ {{S}^{2}}\ge 4 P\Rightarrow S\in \left[ 0;4 \right]$
Lấy $\left( 1 \right)+2.\left( 2 \right)$ vế theo vế ta được: ${{S}^{2}}+2S=3m \left( 3 \right)$
Xét hàm số $f\left( S \right)={{S}^{2}}+2S; S\in \left[ 0;4 \right]$, có ${f}'\left( S \right)=2S+2>0; \forall S\in \left[ 0;4 \right]$.
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow \left( 3 \right)$ có nghiệm $\Leftrightarrow f\left( 0 \right)\le m\le f\left( 4 \right)\Leftrightarrow 0\le m\le 8$.
Vậy có 9 giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn.