Tìm số các giá trị nguyên của $x$ sao cho với mỗi $x$ tồn tại đúng...

${{3}^{{{y}^{2}}-\left| x-2y \right|}}\le {{\log }_{{{y}^{2}}+3}}\left( \left| x-2y \right|+3 \right)$ $\Leftrightarrow \dfrac{{{3}^{{{y}^{2}}+3}}}{{{3}^{\left| x-2y \right|+3}}}\le \dfrac{\ln \left( \left| x-2y \right|+3 \right)}{\ln \left( {{y}^{2}}+3 \right)}$
$\Leftrightarrow {{3}^{{{y}^{2}}+3}}\ln \left( {{y}^{2}}+3 \right)\le {{3}^{\left| x-2y \right|+3}}\ln \left( \left| x-2y \right|+3 \right)$.
Xét hàm số $f\left( t \right)={{3}^{t}}\ln t$ với $t\ge 3$.
${f}'\left( t \right)={{3}^{t}}\ln t.\ln t+\dfrac{{{3}^{t}}}{t}>0,\forall t\ge 3\Rightarrow $ hàm số đồng trên $\left[ \left. 3;+\infty \right) \right.$.
Ta có: $f\left( {{y}^{2}}+3 \right)\le f\left( \left| x-2y \right|+3 \right)\Leftrightarrow {{y}^{2}}+3\le \left| x-2y \right|+3$ $\Leftrightarrow {{y}^{2}}\le \left| x-2y \right|$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x\ge {{y}^{2}}+2y={{g}_{1}}\left( y \right) \\
& x\le 2y-{{y}^{2}}={{g}_{2}}\left( y \right) \\
\end{aligned} \right.$
Ta thấy $\left[ \begin{aligned}
& 3\le x<8 \\
& x=0 \\
& -8<x\le -3 \\
\end{aligned} \right. $ thì sẽ có đúng $ 5 $ giá trị nguyên của $ y $ với mỗi giá trị nguyên của $ x$.
Vậy có tất cả $11$ giá trị.