Google
Câu hỏi: Mặt tiền nhà Thầy Nam có chiều ngang $AB=4m,$ thầy Nam muốn thiết kế lan can nhô ra có dạng là một phần của đường tròn $\left( C \right)$ (hình vẽ). Vì phía trước vướng cây tại vị trí $F$ nên để antoàn, thầy Nam cho xây đường cong đi qua vị trí điểm $E$ thuộc đoạn $DF$ sao cho $E$ cách $F$ một khoảng $1m,$ trong đó $D$ là trung điểm của $AB.$ Biết $AF=2m,\angle DAF={{60}^{0}}$ và lan can cao $1m$ làm bằng inox với giá 2,2 triệu/ ${{m}^{2}}$. Tính số tiền thầy Nam phải trả (làm tròn đến hàng ngàn).
A. 7.568.000
B. 10.405.000
C. 9.997.000
D. 8.124.000
A. 7.568.000
B. 10.405.000
C. 9.997.000
D. 8.124.000
Cách giải:
Tam giác $ADF$ có $\left\{ \begin{aligned}
& AF=AD=2 \\
& \angle DAF={{60}^{0}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \Delta DAF$ đều có độ dài cạnh bằng 2.
Nên đường cao $AE=\dfrac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\left( m \right).$
Có $\angle EA\angle FAE={{30}^{0}}$ (đường cao đồng thời là phân giác).
Theo định lý cosin trong tam giác $ABE$ có:
$EB=\sqrt{A{{E}^{2}}+A{{B}^{2}}-2AE.AB.\cos {{30}^{0}}}=\sqrt{7}\left( m \right).$
Gọi $O$ là tâm đường tròn $\left( C \right)$ và $R$ là bán kính.
Vì $\left( C \right)$ ngoại tiếp tam giác $ABE$ nên áp dụng định lí sin ta có: $R=\dfrac{BE}{2\sin {{30}^{0}}}=\sqrt{7}$
Tam giác $ADO$ vuông tại $D$ (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung) nên ta có:
$\sin AOD=\dfrac{AD}{AO}=\dfrac{2}{\sqrt{7}}\Rightarrow \angle AOD={{49}^{9}}6'\Rightarrow \angle AOB={{98}^{0}}12'$
$\Rightarrow $ Độ dài cung $AB$ là $l=\dfrac{\pi Rn}{180}=\dfrac{\pi .\sqrt{7}{{.98}^{0}}12'}{{{180}^{0}}}=4,535$
Chiều cao lan can là 1 nên diện tích mặt cong là $S=l.h=4,535.1=4,535\left( {{m}^{2}} \right).$
Vậy số tiền thầy Nam phải trả là 4,535.2,2 = 9,977 triệu đồng.
Tam giác $ADF$ có $\left\{ \begin{aligned}
& AF=AD=2 \\
& \angle DAF={{60}^{0}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \Delta DAF$ đều có độ dài cạnh bằng 2.
Nên đường cao $AE=\dfrac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\left( m \right).$
Có $\angle EA\angle FAE={{30}^{0}}$ (đường cao đồng thời là phân giác).
Theo định lý cosin trong tam giác $ABE$ có:
$EB=\sqrt{A{{E}^{2}}+A{{B}^{2}}-2AE.AB.\cos {{30}^{0}}}=\sqrt{7}\left( m \right).$
Gọi $O$ là tâm đường tròn $\left( C \right)$ và $R$ là bán kính.
Vì $\left( C \right)$ ngoại tiếp tam giác $ABE$ nên áp dụng định lí sin ta có: $R=\dfrac{BE}{2\sin {{30}^{0}}}=\sqrt{7}$
Tam giác $ADO$ vuông tại $D$ (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung) nên ta có:
$\sin AOD=\dfrac{AD}{AO}=\dfrac{2}{\sqrt{7}}\Rightarrow \angle AOD={{49}^{9}}6'\Rightarrow \angle AOB={{98}^{0}}12'$
$\Rightarrow $ Độ dài cung $AB$ là $l=\dfrac{\pi Rn}{180}=\dfrac{\pi .\sqrt{7}{{.98}^{0}}12'}{{{180}^{0}}}=4,535$
Chiều cao lan can là 1 nên diện tích mặt cong là $S=l.h=4,535.1=4,535\left( {{m}^{2}} \right).$
Vậy số tiền thầy Nam phải trả là 4,535.2,2 = 9,977 triệu đồng.
Đáp án C.