Lý thuyết định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Câu hỏi: 1. Định nghĩa
Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \((a; b)\), \(x_0\in (a; b)\). Giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số \(\dfrac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\)  khi \(x → x_0\) được gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại  \(x_0\), kí hiệu là \(f'( x_0)\) hay \(y'( x_0)\). Như vậy:
\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left(x \right) - f\left({{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)
Nếu đặt \(x - x_0= ∆x\) và \(∆y = f(x_0+∆x) - f(x_0)\) thì ta có
\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\)
Đại lượng \(∆x\) được gọi là số gia của đối số tại \(x_0\) và đại lượng \(∆y\) được gọi là số gia tương ứng của hàm số.
2. Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa
Bước 1. Với \(∆x\) là số gia của số đối tại \(x_0\) , tính \(∆y = f(x_0+∆x)- f(x_0)\);
Bước 2. Lập tỉ số \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\);
Bước 3. Tính \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\).
Nhận xét: nếu thay \(x_0\) bởi \(x\) ta có định nghĩa và quy tắc tính đạo hàm của hàm số \(y = f(x)\) tại điểm \(x ∈ (a; b)\).
3. Quan hệ giữa tính liên tục và sự tồn tại đạo hàm
Định lí. Nếu hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm tại \(x_0\) thì nó liên tục tại \(x_0\). ​
Chú ý.
Định lí trên tương đương với khẳng định : Nếu \(y = f(x)\) gián đoạn tại \(x_0\) thì nó không có đạo hàm tại điểm đó.
Mệnh đề đảo của định lí không đúng. Một hàm số liên tục tại một điểm có thể không có đạo hàm tại điểm đó.
4. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Nếu tồn tại, \(f'(x_0)\) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) tại điểm \(M_0(x_0; f(x_0))\). Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm \(M_0(x_0; f(x_0))\) là
\(y - f(x_0) = f'(x_0)(x-x_0)\)
5. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm
\(v(t) = s'(t)\) là vận tốc tức thời của chuyển động \(s = s(t)\) tại thời điểm \(t\).