Bài 3 trang 156 SGK Đại số và Giải tích 11

Câu hỏi: Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của mỗi hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra:

Câu a​

\(y = x^2+ x\) tại \(x_0= 1\)
Phương pháp giải:
Bước 1: Giả sử \(\Delta x\) là số gia của đối số tại \(x_0\), tính \(\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left({{x_0}} \right)\).
Bước 2: Lập tỉ số \(\dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\).
Bước 3: Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\).
Kết luận \(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\).
Lời giải chi tiết:
Giả sử \(∆x\) là số gia của số đối tại \(x_0 = 1\). Ta có:
\(\begin{array}{l}
\Delta y = f\left({1 + \Delta x} \right) - f\left(1 \right)\\
= {\left({1 + \Delta x} \right)^2} + \left({1 + \Delta x} \right) - {1^2} - 1\\
= 1 + 2\Delta x + {\left({\Delta x} \right)^2} + 1 + \Delta x - 2\\
= \Delta x\left({\Delta x + 3} \right)\\
\Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \Delta x + 3\\
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left({\Delta x + 3} \right) = 3
\end{array}\)
Vậy \(f'(1) = 3\).
Cách khác:
\(\begin{array}{l}
f\left(x \right) = {x^2} + x \Rightarrow f\left(1 \right) = 2\\
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{f\left(x \right) - f\left(1 \right)}}{{x - 1}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{{x^2} + x - 2}}{{x - 1}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\left({x - 1} \right)\left({x + 2} \right)}}{{x - 1}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left({x + 2} \right)\\
= 1 + 2\\
= 3\\
\Rightarrow f'\left(1 \right) = 3
\end{array}\)

Câu b​

\(y =  \dfrac{1}{x}\) tại \(x_0= 2\)
Lời giải chi tiết:
Giả sử \(∆x\) là số gia của số đối tại \(x_0= 2\). Ta có:
\(\begin{array}{l}
\Delta y = f\left({2 + \Delta x} \right) - f\left(2 \right)\\
= \dfrac{1}{{2 + \Delta x}} - \dfrac{1}{2}\\
= \dfrac{{2 - 2 - \Delta x}}{{2\left({2 + \Delta x} \right)}} = \dfrac{{ - \Delta x}}{{2\left({2 + \Delta x} \right)}}\\
\Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{{ - 1}}{{2\left({2 + \Delta x} \right)}}\\
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left({\dfrac{{ - 1}}{{2\left( {2 + \Delta x} \right)}}} \right) = \dfrac{{ - 1}}{{2.2}} = - \dfrac{1}{4}
\end{array}\)
Vậy \(f'(2) = -   \dfrac{1}{4}\).
Cách khác:
\(\begin{array}{l}
f\left(x \right) = \dfrac{1}{x} \Rightarrow f\left(2 \right) = \dfrac{1}{2}\\
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{f\left(x \right) - f\left(2 \right)}}{{x - 2}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{2}}}{{x - 2}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{\dfrac{{2 - x}}{{2x}}}}{{ - \left({2 - x} \right)}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left({ - \dfrac{1}{{2x}}} \right)\\
= - \dfrac{1}{{2.2}} = - \dfrac{1}{4}\\
\Rightarrow f'\left(2 \right) = - \dfrac{1}{4}
\end{array}\)

Câu c​

\(y = \dfrac{x+1}{x-1}\) tại \(x_0 = 0\)
Lời giải chi tiết:
Giả sử \(∆x\) là số gia của số đối tại \(x_0= 0\). Ta có:
\(\begin{array}{l}
\Delta y = f\left({\Delta x} \right) - f\left(0 \right)\\
= \dfrac{{\Delta x + 1}}{{\Delta x - 1}} - \dfrac{{0 + 1}}{{0 - 1}}\\
= \dfrac{{\Delta x + 1}}{{\Delta x - 1}} + 1\\
= \dfrac{{\Delta x + 1 + \Delta x - 1}}{{\Delta x - 1}} = \dfrac{{2\Delta x}}{{\Delta x - 1}}\\
\Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{2}{{\Delta x - 1}}\\
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left({\dfrac{2}{{\Delta x - 1}}} \right) = \dfrac{2}{{ - 1}} = - 2
\end{array}\)
Vậy \(f'(0) = -2\).
Cách khác:
\(\begin{array}{l}
f\left(x \right) = \dfrac{{x + 1}}{{x - 1}} \Rightarrow f\left(0 \right) = - 1\\
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left(x \right) - f\left(0 \right)}}{{x - 0}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\dfrac{{x + 1}}{{x - 1}} + 1}}{x}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\dfrac{{x + 1 + x - 1}}{{x - 1}}}}{x}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\dfrac{{2x}}{{x - 1}}}}{x}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{2}{{x - 1}}\\
= \dfrac{2}{{0 - 1}} = - 2\\
\Rightarrow f'\left(0 \right) = - 2
\end{array}\)