Google
Câu hỏi: Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol \(y = \dfrac{1}{x}\):
Phương pháp giải:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là: \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left({x - {x_0}} \right) + f\left({{x_0}} \right)\)
Lời giải chi tiết:
Xét giới hạn:
\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left(x \right) - f\left({{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{{{x_0}}}}}{{x - {x_0}}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{{x_0} - x}}{{x.{x_0}\left({x - {x_0}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{ - 1}}{{x.{x_0}}} = - \dfrac{1}{{x_0^2}}\\
\Rightarrow y'\left({{x_0}} \right) = - \dfrac{1}{{x_0^2}}
\end{array}\)
Ta có: \(y' \left ( \dfrac{1}{2} \right)= -4\).
Vậy phương trình tiếp tuyến của hypebol tại điểm \((\dfrac{1}{2} ; 2)\) là \(y = - 4\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right) + 2 = - 4x + 4\)
Phương pháp giải:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là: \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left({x - {x_0}} \right) + f\left({{x_0}} \right)\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(y' (-1) = -1, y(-1)=-1\).
Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ là \(-1\) là: \(y = - \left( {x + 1} \right) - 1 = - x - 2\).
Phương pháp giải:
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ \(x_0\) là \(f'\left( {{x_0}} \right) = 3\).
Giải phương trình tìm \(x_0\), từ đó viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\).
Lời giải chi tiết:
Gọi \(x_0\) là hoành độ tiếp điểm. Ta có
\(y' (x_0) = - \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow - \dfrac{1}{x_{0}^{2}} = - \dfrac{1}{4}\)\(\Leftrightarrow x_{0}^{2} = 4 \Leftrightarrow x_{0}= ±2\).
Với \(x_{0}= 2\) ta có \(y(2) = \dfrac{1}{2}\), phương trình tiếp tuyến là \(y = - \dfrac{1}{4}\left( {x - 2} \right) + \dfrac{1}{2} = - \dfrac{1}{4}x + 1\).
Với \(x_{0} = -2\) ta có \(y (-2) = - \dfrac{1}{2}\), phương trình tiếp tuyến là: \(y = - \dfrac{1}{4}\left( {x + 2} \right) - \dfrac{1}{2} = - \dfrac{1}{4}x - 1\).
Chú ý: Trong các ý a, b, c đều sử dụng cách tính đạo hàm của hàm số tại điểm \(x=x_0\) bằng định nghĩa. Sau khi học xong bài 2 thì các em có thể quay lại làm lại bài tập này, việc tính đạo hàm sẽ dễ hơn rất nhiều.
Câu a
Tại điểm \(( \dfrac{1}{2} ; 2)\)Phương pháp giải:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là: \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left({x - {x_0}} \right) + f\left({{x_0}} \right)\)
Lời giải chi tiết:
Xét giới hạn:
\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left(x \right) - f\left({{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{{{x_0}}}}}{{x - {x_0}}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{{x_0} - x}}{{x.{x_0}\left({x - {x_0}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{ - 1}}{{x.{x_0}}} = - \dfrac{1}{{x_0^2}}\\
\Rightarrow y'\left({{x_0}} \right) = - \dfrac{1}{{x_0^2}}
\end{array}\)
Ta có: \(y' \left ( \dfrac{1}{2} \right)= -4\).
Vậy phương trình tiếp tuyến của hypebol tại điểm \((\dfrac{1}{2} ; 2)\) là \(y = - 4\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right) + 2 = - 4x + 4\)
Câu b
Tại điểm có hoành độ bằng \(-1\);Phương pháp giải:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là: \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left({x - {x_0}} \right) + f\left({{x_0}} \right)\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(y' (-1) = -1, y(-1)=-1\).
Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ là \(-1\) là: \(y = - \left( {x + 1} \right) - 1 = - x - 2\).
Câu c
Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng \(-\dfrac{1}{4}\).Phương pháp giải:
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ \(x_0\) là \(f'\left( {{x_0}} \right) = 3\).
Giải phương trình tìm \(x_0\), từ đó viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\).
Lời giải chi tiết:
Gọi \(x_0\) là hoành độ tiếp điểm. Ta có
\(y' (x_0) = - \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow - \dfrac{1}{x_{0}^{2}} = - \dfrac{1}{4}\)\(\Leftrightarrow x_{0}^{2} = 4 \Leftrightarrow x_{0}= ±2\).
Với \(x_{0}= 2\) ta có \(y(2) = \dfrac{1}{2}\), phương trình tiếp tuyến là \(y = - \dfrac{1}{4}\left( {x - 2} \right) + \dfrac{1}{2} = - \dfrac{1}{4}x + 1\).
Với \(x_{0} = -2\) ta có \(y (-2) = - \dfrac{1}{2}\), phương trình tiếp tuyến là: \(y = - \dfrac{1}{4}\left( {x + 2} \right) - \dfrac{1}{2} = - \dfrac{1}{4}x - 1\).
Chú ý: Trong các ý a, b, c đều sử dụng cách tính đạo hàm của hàm số tại điểm \(x=x_0\) bằng định nghĩa. Sau khi học xong bài 2 thì các em có thể quay lại làm lại bài tập này, việc tính đạo hàm sẽ dễ hơn rất nhiều.
Rất tiếc, câu hỏi này chưa có lời giải chi tiết. Bạn ơi, đăng nhập và giải chi tiết giúp zix.vn nhé!!!