Google
Câu hỏi: Chứng minh rằng hàm số
$f\left(x\right) = \left\{ \matrix{
{\left(x - 1\right)^2}\text{ nếu }x \ge 0 \hfill \cr
- {x^2}\text { nếu } x < 0 \hfill \cr} \right.$
không có đạo hàm tại điểm \(x = 0\) nhưng có đạo hàm tại điểm \(x = 2\).
$f\left(x\right) = \left\{ \matrix{
{\left(x - 1\right)^2}\text{ nếu }x \ge 0 \hfill \cr
- {x^2}\text { nếu } x < 0 \hfill \cr} \right.$
không có đạo hàm tại điểm \(x = 0\) nhưng có đạo hàm tại điểm \(x = 2\).
Phương pháp giải
Điều kiện cần để hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại điểm \(x=x_0\) là hàm số liên tục tại \(x=x_0\).
Sử dụng định nghĩa chứng minh hàm số có đạo hàm tại \(x=x_0\):
Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên khoảng \((a; b)\) và \({x_0} \in \left( {a; b} \right)\). Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left(x_0 \right)}}{{x - {x_0}}}\) thì tồn tại đạo hàm của hàm số tại \(x_0\).
Lời giải chi tiết
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left(x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {\left({x - 1} \right)^2} = {\left({0 - 1} \right)^2} = 1\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left(x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left({ - {x^2}} \right) = - {0^2} = 0\\
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left(x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left(x \right)
\end{array}\)
Do đó hàm số \(y = f(x)\) gián đoạn tại \(x = 0\).
Vậy hàm số không có đạo hàm tại điểm \(x = 0\) (vi phạm điều kiện cần).
Xét giới hạn:
\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f\left(x \right) - f\left(2 \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{{\left({x - 1} \right)}^2} - 1}}{{x - 2}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 2x}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x\left({x - 2} \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} x = 2
\end{array}\)
Vậy hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm tại \(x = 2\) và \(f'(2) = 2\).
Điều kiện cần để hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại điểm \(x=x_0\) là hàm số liên tục tại \(x=x_0\).
Sử dụng định nghĩa chứng minh hàm số có đạo hàm tại \(x=x_0\):
Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên khoảng \((a; b)\) và \({x_0} \in \left( {a; b} \right)\). Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left(x_0 \right)}}{{x - {x_0}}}\) thì tồn tại đạo hàm của hàm số tại \(x_0\).
Lời giải chi tiết
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left(x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {\left({x - 1} \right)^2} = {\left({0 - 1} \right)^2} = 1\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left(x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left({ - {x^2}} \right) = - {0^2} = 0\\
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left(x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left(x \right)
\end{array}\)
Do đó hàm số \(y = f(x)\) gián đoạn tại \(x = 0\).
Vậy hàm số không có đạo hàm tại điểm \(x = 0\) (vi phạm điều kiện cần).
Xét giới hạn:
\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f\left(x \right) - f\left(2 \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{{\left({x - 1} \right)}^2} - 1}}{{x - 2}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 2x}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x\left({x - 2} \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} x = 2
\end{array}\)
Vậy hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm tại \(x = 2\) và \(f'(2) = 2\).