Google
Câu hỏi: Khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đường cong $y=\sqrt{\dfrac{5+(x-4){{e}^{x}}}{x{{e}^{x}}+1}}$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0,x=1$ quanh trục hoành có thể tích $V=\pi \left[ a+b\ln (e+1) \right]$, trong đó $a,b$ là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. $a+b=9$.
B. $a+b=5$.
C. $a-2b=13$.
D. $a-2b=-3$.
A. $a+b=9$.
B. $a+b=5$.
C. $a-2b=13$.
D. $a-2b=-3$.
Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đường cong $y=\sqrt{\dfrac{5+(x-4){{e}^{x}}}{x{{e}^{x}}+1}}$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0,x=1$ quanh trục hoành là:
$V=\pi \int\limits_{0}^{1}{\dfrac{5+(x-4){{e}^{x}}}{x{{e}^{x}}+1}}dx$ = $\pi \int\limits_{0}^{1}{\dfrac{5+x{{e}^{x}}-4{{e}^{x}}}{x{{e}^{x}}+1}}dx=\pi \int\limits_{0}^{1}{\left( 1+\dfrac{4-4{{e}^{x}}}{x{{e}^{x}}+1} \right)}dx=\pi \left( \int\limits_{0}^{1}{dx+}\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{4-4{{e}^{x}}}{x{{e}^{x}}+1}dx} \right)$
Đặt $I=\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{4-4{{e}^{x}}}{x{{e}^{x}}+1}dx}$.
Ta có: $I=\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{4-4{{e}^{x}}}{x{{e}^{x}}+1}dx}=4\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{1-{{e}^{x}}}{x{{e}^{x}}+1}}dx=4\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{\dfrac{1}{{{e}^{x}}}-1}{x+\dfrac{1}{{{e}^{x}}}}dx}$
Đặt $t=x+\dfrac{1}{{{e}^{x}}}\Rightarrow dt=\left( 1-\dfrac{1}{{{e}^{x}}} \right)dx$. Đổi cận ta có: $x=0\Rightarrow t=1$ $x=1\Rightarrow t=1+\dfrac{1}{e}$
$I=4\int\limits_{1}^{1+\dfrac{1}{e}}{-\dfrac{dt}{t}}=4\left( -\ln t \right)\left| \begin{aligned}
& 1+\dfrac{1}{e} \\
& 1 \\
\end{aligned} \right.=4\left( -\ln (1+e)+1 \right)$
Nên $V=\pi \left[ 1+4.\left( 1-\ln (1+e) \right) \right]=\pi \left( 5-4\ln (1+e) \right)$
Do đó $a=5;b=-4\Rightarrow a-2b=13$
$V=\pi \int\limits_{0}^{1}{\dfrac{5+(x-4){{e}^{x}}}{x{{e}^{x}}+1}}dx$ = $\pi \int\limits_{0}^{1}{\dfrac{5+x{{e}^{x}}-4{{e}^{x}}}{x{{e}^{x}}+1}}dx=\pi \int\limits_{0}^{1}{\left( 1+\dfrac{4-4{{e}^{x}}}{x{{e}^{x}}+1} \right)}dx=\pi \left( \int\limits_{0}^{1}{dx+}\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{4-4{{e}^{x}}}{x{{e}^{x}}+1}dx} \right)$
Đặt $I=\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{4-4{{e}^{x}}}{x{{e}^{x}}+1}dx}$.
Ta có: $I=\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{4-4{{e}^{x}}}{x{{e}^{x}}+1}dx}=4\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{1-{{e}^{x}}}{x{{e}^{x}}+1}}dx=4\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{\dfrac{1}{{{e}^{x}}}-1}{x+\dfrac{1}{{{e}^{x}}}}dx}$
Đặt $t=x+\dfrac{1}{{{e}^{x}}}\Rightarrow dt=\left( 1-\dfrac{1}{{{e}^{x}}} \right)dx$. Đổi cận ta có: $x=0\Rightarrow t=1$ $x=1\Rightarrow t=1+\dfrac{1}{e}$
$I=4\int\limits_{1}^{1+\dfrac{1}{e}}{-\dfrac{dt}{t}}=4\left( -\ln t \right)\left| \begin{aligned}
& 1+\dfrac{1}{e} \\
& 1 \\
\end{aligned} \right.=4\left( -\ln (1+e)+1 \right)$
Nên $V=\pi \left[ 1+4.\left( 1-\ln (1+e) \right) \right]=\pi \left( 5-4\ln (1+e) \right)$
Do đó $a=5;b=-4\Rightarrow a-2b=13$
Đáp án C.
