Google
Câu hỏi: Gọi ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là hai nghiệm phức của phương trình ${{z}^{2}}-4z+5=0$, trong đó ${{z}_{1}}$ có phần ảo dương. Giá trị của biểu thức ${{\left( {{z}_{1}}-1 \right)}^{2021}}+{{\left( {{z}_{2}}-1 \right)}^{2022}}$ bằng
A. 0.
B. ${{2}^{1010}}$.
C. ${{2}^{1010}}-{{2}^{1010}}i$.
D. $-{{2}^{1010}}+{{2}^{1010}}i$.
Xét phương trình ${{z}^{2}}-4z+5=0\Leftrightarrow {{\left( z-2 \right)}^{2}}=-1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}=2+i \\
& {{z}_{2}}=2-i \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó ta có: ${{\left( {{z}_{1}}-1 \right)}^{2021}}+{{\left( {{z}_{2}}-1 \right)}^{2022}}={{\left( 1+i \right)}^{2021}}+{{\left( 1-i \right)}^{2022}}$
$=\left( 1+i \right).{{\left[ {{\left( 1+i \right)}^{2}} \right]}^{1010}}+{{\left[ {{\left( 1-i \right)}^{2}} \right]}^{1011}}$
$=\left( 1+i \right).{{\left( 2i \right)}^{1010}}+{{\left( -2i \right)}^{1011}}$
$={{\left( 2i \right)}^{1010}}\left[ \left( 1+i \right)-2i \right]={{\left( 2i \right)}^{1010}}\left( 1-i \right)$
$=-{{2}^{1010}}\left( 1-i \right)=-{{2}^{1010}}+{{2}^{1010}}i$.
A. 0.
B. ${{2}^{1010}}$.
C. ${{2}^{1010}}-{{2}^{1010}}i$.
D. $-{{2}^{1010}}+{{2}^{1010}}i$.
Xét phương trình ${{z}^{2}}-4z+5=0\Leftrightarrow {{\left( z-2 \right)}^{2}}=-1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}=2+i \\
& {{z}_{2}}=2-i \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó ta có: ${{\left( {{z}_{1}}-1 \right)}^{2021}}+{{\left( {{z}_{2}}-1 \right)}^{2022}}={{\left( 1+i \right)}^{2021}}+{{\left( 1-i \right)}^{2022}}$
$=\left( 1+i \right).{{\left[ {{\left( 1+i \right)}^{2}} \right]}^{1010}}+{{\left[ {{\left( 1-i \right)}^{2}} \right]}^{1011}}$
$=\left( 1+i \right).{{\left( 2i \right)}^{1010}}+{{\left( -2i \right)}^{1011}}$
$={{\left( 2i \right)}^{1010}}\left[ \left( 1+i \right)-2i \right]={{\left( 2i \right)}^{1010}}\left( 1-i \right)$
$=-{{2}^{1010}}\left( 1-i \right)=-{{2}^{1010}}+{{2}^{1010}}i$.
Đáp án D.
