Google
Câu hỏi: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường $\operatorname{cong}(C): y=x \ln x$, trục hoành và đường thẳng $x=e$ là
A. $\dfrac{e^2-1}{2}$.
B. $\dfrac{e^2+1}{2}$.
C. $\dfrac{e^2-1}{4}$.
D. $\dfrac{e^2+1}{4}$.
A. $\dfrac{e^2-1}{2}$.
B. $\dfrac{e^2+1}{2}$.
C. $\dfrac{e^2-1}{4}$.
D. $\dfrac{e^2+1}{4}$.
Điều kiện: $x>0$.
Phương trình hoành độ giao điểm của đường cong $(C)$ với trục hoành là: $x \ln x=0 \Leftrightarrow x=1$.
Suy ra diện tích hình phẳng cần tính là: $S=\int_1^e|x \ln x| d x=\int_1^e x \ln x d x$.
Đặt $\left\{\begin{array}{l}u=\ln x \\ d v=x d x\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}d u=\dfrac{1}{x} d x \\ v=\dfrac{x^2}{2}\end{array}\right.\right.$
$S=\left.\left(\dfrac{x^2}{2} \ln x\right)\right|_1 ^e-\int_1^e \dfrac{x}{2} d x=\dfrac{e^2}{2}-\left.\dfrac{x^2}{4}\right|_1 ^e=\dfrac{e^2}{2}-\dfrac{e^2}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{e^2}{4}+\dfrac{1}{4}$
Phương trình hoành độ giao điểm của đường cong $(C)$ với trục hoành là: $x \ln x=0 \Leftrightarrow x=1$.
Suy ra diện tích hình phẳng cần tính là: $S=\int_1^e|x \ln x| d x=\int_1^e x \ln x d x$.
Đặt $\left\{\begin{array}{l}u=\ln x \\ d v=x d x\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}d u=\dfrac{1}{x} d x \\ v=\dfrac{x^2}{2}\end{array}\right.\right.$
$S=\left.\left(\dfrac{x^2}{2} \ln x\right)\right|_1 ^e-\int_1^e \dfrac{x}{2} d x=\dfrac{e^2}{2}-\left.\dfrac{x^2}{4}\right|_1 ^e=\dfrac{e^2}{2}-\dfrac{e^2}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{e^2}{4}+\dfrac{1}{4}$
Đáp án D.