Google
Câu hỏi: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong $C: y=(4 x+3)$. $\ln x$, trục hoành và đường thẳng $x=$ 2 có kết quả là $S=7 \ln a+b,(a, b \in \mathbb{Z})$. Khi đó $\sin \dfrac{(a+b) \pi}{4}$ bằng
A. 1 .
B. $\dfrac{1}{2}$.
C. 0 .
D. -1 .
A. 1 .
B. $\dfrac{1}{2}$.
C. 0 .
D. -1 .
Điều kiện: $x>0$.
Xét phương trình hoành độ giao điểm: $(4 x+3) \cdot \ln x=0 \Leftrightarrow x=1$.
Khi đó, diện tích cần tính là: $S=\int_1^2|(4 x+3) \cdot \ln x| \mathrm{d} x=\int_1^2(4 x+3) \cdot \ln x \cdot \mathrm{d} x$.
$
\begin{aligned}
& \text { Đặt }\left\{\begin{array} { l }
{ u = \operatorname { l n } x } \\
{ d v = ( 4 x + 3 ) \mathrm { d } x }
\end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}
d u=\dfrac{\mathrm{d} x}{x} \\
v=2 x^2+3 x
\end{array}\right.\right. \\
& \Rightarrow \int_1^2(4 x+3) \cdot \ln x \cdot \mathrm{d} x=\left.\left(2 x^2+3 x\right) \ln x\right|_1 ^2-\int_1^2(2 x+3) \mathrm{d} x=14 \ln 2-\left.\left(x^2+3 x\right)\right|_1 ^2=7 \ln 4-6 \\
& \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}
a=4 \\
b=-6
\end{array} \Rightarrow \sin \dfrac{(a+b) \pi}{4}=-1 .\right.
\end{aligned}
$
Xét phương trình hoành độ giao điểm: $(4 x+3) \cdot \ln x=0 \Leftrightarrow x=1$.
Khi đó, diện tích cần tính là: $S=\int_1^2|(4 x+3) \cdot \ln x| \mathrm{d} x=\int_1^2(4 x+3) \cdot \ln x \cdot \mathrm{d} x$.
$
\begin{aligned}
& \text { Đặt }\left\{\begin{array} { l }
{ u = \operatorname { l n } x } \\
{ d v = ( 4 x + 3 ) \mathrm { d } x }
\end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}
d u=\dfrac{\mathrm{d} x}{x} \\
v=2 x^2+3 x
\end{array}\right.\right. \\
& \Rightarrow \int_1^2(4 x+3) \cdot \ln x \cdot \mathrm{d} x=\left.\left(2 x^2+3 x\right) \ln x\right|_1 ^2-\int_1^2(2 x+3) \mathrm{d} x=14 \ln 2-\left.\left(x^2+3 x\right)\right|_1 ^2=7 \ln 4-6 \\
& \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}
a=4 \\
b=-6
\end{array} \Rightarrow \sin \dfrac{(a+b) \pi}{4}=-1 .\right.
\end{aligned}
$
Đáp án D.