Google
Câu hỏi: Có nhiều nhất bao nhiêu số nguyên dương $y$ thuộc đoạn $\left[ 1;2022 \right]$ để tồn tại nhiều nhất $128$ số nguyên dương $x$ thỏa mãn $3{{\log }_{3}}(1+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xy})-{{\log }_{2}}y\le {{\log }_{2}}x$ ?
A. $1991$.
B. $1992$.
C. $1993$.
D. $1990$.
A. $1991$.
B. $1992$.
C. $1993$.
D. $1990$.
Điều kiện: $x>0,y>0$.
$3{{\log }_{3}}(1+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xy})-{{\log }_{2}}y\le {{\log }_{2}}x\Leftrightarrow 3{{\log }_{3}}(1+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xy})\le {{\log }_{2}}xy$.
Đặt $t=\sqrt[6]{xy}$. Do $x,y$ nguyên dương nên $t\ge 1$.
Ttừ giả thiết ta có $3{{\log }_{3}}\left( 1+{{t}^{3}}+{{t}^{2}} \right)\le 3{{\log }_{2}}{{t}^{2}}\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( 1+{{t}^{3}}+{{t}^{2}} \right)-{{\log }_{2}}{{t}^{2}}\le 0$.
Xét hàm số $f\left( t \right)={{\log }_{3}}\left( 1+{{t}^{3}}+{{t}^{2}} \right)-{{\log }_{2}}{{t}^{2}}$.
${f}'(t)=\dfrac{1}{\ln 3}\cdot \dfrac{3{{t}^{2}}+2t}{{{t}^{3}}+{{t}^{2}}+1}-\dfrac{2}{\ln 2}\cdot \dfrac{1}{t}=\dfrac{(3\ln 2-2\ln 3){{t}^{3}}+(2\ln 2-2\ln 3){{t}^{2}}-2\ln 3}{\ln 2\cdot \ln 3\cdot \left( {{t}^{4}}+{{t}^{3}}+t \right)}$.
Xét $g(t)=(3\ln 2-2\ln 3){{t}^{3}}+(2\ln 2-2\ln 3){{t}^{2}}-2\ln 3$.
Ta có ${g}'(t)=3\ln \dfrac{8}{9}{{t}^{2}}+2\ln \dfrac{4}{9}t=t\left( 3\ln \dfrac{8}{9}t+2\ln \dfrac{4}{9} \right)<0, \forall t\ge 1$.
Khi đó hàm số $g\left( t \right)$ nghịch biến trên $\left[ 1;+\infty \right)$.
Suy ra $g\left( t \right)\le g\left( 1 \right)=5\ln 2-6\ln 3<0, \forall t\ge 1\Rightarrow {f}'\left( t \right)<0, \forall t\ge 1$
Suy ra hàm $f\left( t \right)$ nghịch biến trên $\left[ 1;+\infty \right)$.
Ta lại có $f\left( 4 \right)=0$ nên $x=4$ là nghiệm duy nhất của $f\left( t \right)=0$.
Suy ra $f\left( t \right)\le 0\Leftrightarrow f\left( t \right)\le f\left( 4 \right)\Leftrightarrow t\ge 4\Leftrightarrow xy\ge 4096\Leftrightarrow y\ge \dfrac{4096}{x}$.
Theo giả thiết $x\le 128$ nên $y\ge \dfrac{4096}{x}\ge \dfrac{4096}{128}\Leftrightarrow y\ge 32$.
Vì $\left\{ \begin{aligned}
& y\in \left[ 1;2022 \right] \\
& y\in \mathbb{Z} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ 32;33;34;...;2022 \right\} $ là tập hợp nhiều số nguyên nhất chứa $ y$.
Suy ra có nhiều nhất 1991 số nguyên dương $y$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
$3{{\log }_{3}}(1+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xy})-{{\log }_{2}}y\le {{\log }_{2}}x\Leftrightarrow 3{{\log }_{3}}(1+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xy})\le {{\log }_{2}}xy$.
Đặt $t=\sqrt[6]{xy}$. Do $x,y$ nguyên dương nên $t\ge 1$.
Ttừ giả thiết ta có $3{{\log }_{3}}\left( 1+{{t}^{3}}+{{t}^{2}} \right)\le 3{{\log }_{2}}{{t}^{2}}\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( 1+{{t}^{3}}+{{t}^{2}} \right)-{{\log }_{2}}{{t}^{2}}\le 0$.
Xét hàm số $f\left( t \right)={{\log }_{3}}\left( 1+{{t}^{3}}+{{t}^{2}} \right)-{{\log }_{2}}{{t}^{2}}$.
${f}'(t)=\dfrac{1}{\ln 3}\cdot \dfrac{3{{t}^{2}}+2t}{{{t}^{3}}+{{t}^{2}}+1}-\dfrac{2}{\ln 2}\cdot \dfrac{1}{t}=\dfrac{(3\ln 2-2\ln 3){{t}^{3}}+(2\ln 2-2\ln 3){{t}^{2}}-2\ln 3}{\ln 2\cdot \ln 3\cdot \left( {{t}^{4}}+{{t}^{3}}+t \right)}$.
Xét $g(t)=(3\ln 2-2\ln 3){{t}^{3}}+(2\ln 2-2\ln 3){{t}^{2}}-2\ln 3$.
Ta có ${g}'(t)=3\ln \dfrac{8}{9}{{t}^{2}}+2\ln \dfrac{4}{9}t=t\left( 3\ln \dfrac{8}{9}t+2\ln \dfrac{4}{9} \right)<0, \forall t\ge 1$.
Khi đó hàm số $g\left( t \right)$ nghịch biến trên $\left[ 1;+\infty \right)$.
Suy ra $g\left( t \right)\le g\left( 1 \right)=5\ln 2-6\ln 3<0, \forall t\ge 1\Rightarrow {f}'\left( t \right)<0, \forall t\ge 1$
Suy ra hàm $f\left( t \right)$ nghịch biến trên $\left[ 1;+\infty \right)$.
Ta lại có $f\left( 4 \right)=0$ nên $x=4$ là nghiệm duy nhất của $f\left( t \right)=0$.
Suy ra $f\left( t \right)\le 0\Leftrightarrow f\left( t \right)\le f\left( 4 \right)\Leftrightarrow t\ge 4\Leftrightarrow xy\ge 4096\Leftrightarrow y\ge \dfrac{4096}{x}$.
Theo giả thiết $x\le 128$ nên $y\ge \dfrac{4096}{x}\ge \dfrac{4096}{128}\Leftrightarrow y\ge 32$.
Vì $\left\{ \begin{aligned}
& y\in \left[ 1;2022 \right] \\
& y\in \mathbb{Z} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ 32;33;34;...;2022 \right\} $ là tập hợp nhiều số nguyên nhất chứa $ y$.
Suy ra có nhiều nhất 1991 số nguyên dương $y$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án A.