Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $\left( x ;y \right)$ thỏa mãn...

Với $x,y$ là các số nguyên dương, ta có:
$\begin{aligned}
& 3\left( {{9}^{x}}+2x \right)\le y+{{\log }_{3}}{{\left( y+1 \right)}^{3}}-2 \\
& \Leftrightarrow {{3}^{2x+1}}+3\left( 2x+1 \right)\le {{3}^{{{\log }_{3}}\left( y+1 \right)}}+3{{\log }_{3}}\left( y+1 \right) (*) \\
\end{aligned}$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{3}^{t}}+3t$, với $t>0$
Ta có: ${f}'\left( t \right)={{3}^{t}}\ln 3+3>0, \forall t>0$ suy ra $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\left( 0 ;+\infty \right).$
Từ $(*)\Leftrightarrow f\left( 2x+1 \right)\le f\left( {{\log }_{3}}\left( y+1 \right) \right)\Leftrightarrow 2x+1\le {{\log }_{3}}\left( y+1 \right)\Leftrightarrow y\ge {{3}^{2x+1}}-1$.
Theo bài ra: $y\le 2023\Rightarrow {{3}^{2x+1}}-1\le 2023\Leftrightarrow x\le \dfrac{{{\log }_{3}}2024-1}{2}\approx 2,96$
Vì $x$ là số nguyên dương nên $x\in \left\{ 1;2 \right\}$.
Xét $x=1$ khi đó $y\ge {{3}^{2.1+1}}-1=26$, có 1998 cặp số $\left( x ;y \right)$ thỏa mãn.
Xét $x=2$ khi đó $y\ge {{3}^{2.2+1}}-1=242$, có 1782 cặp số $\left( x ;y \right)$ thỏa mãn.
Vậy có $1998+1782=3780$ cặp số $\left( x ;y \right)$ thỏa mãn.