Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $\left( x;y \right)$ thỏa mãn...

Ta có $3\left( {{9}^{y}}+2y \right)+2\le x+{{\log }_{3}}{{\left( x+1 \right)}^{3}}\Leftrightarrow {{3.9}^{y}}+6y+2\le x+3{{\log }_{3}}\left( x+1 \right)$
$\Leftrightarrow {{3}^{2y+1}}+3\left( 2y+1 \right)\le \left( x+1 \right)+3{{\log }_{3}}\left( x+1 \right)$.
Xét hàm số $f\left( t \right)={{3}^{t}}+3t$ có ${f}'\left( t \right)={{3}^{t}}.\ln 3+3>0,\forall t$.
Suy ra hàm số $f\left( t \right)={{3}^{t}}+3t$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Do đó $\left( * \right)\Leftrightarrow f\left( 2y+1 \right)\le f\left( {{\log }_{3}}\left( x+1 \right) \right)\Leftrightarrow 2y+1\le {{\log }_{3}}\left( x+1 \right)\Leftrightarrow {{3}^{2y+1}}-1\le x$.
Vì $x\le 2022$ nên ${{3}^{2y+1}}-1\le 2022\Leftrightarrow y\le \dfrac{{{\log }_{3}}2023-1}{2}\approx 2,96$.
Với giả thiết $y$ nguyên dương suy ra $y\in \left\{ 1;2 \right\}$.
Với $y=1$ có $26\le x\le 2022$ suy ra có 1997 cặp số $\left( x;y \right)$ thỏa mãn.
Với $y=2$ có $242\le x\le 2022$ suy ra có 1781 cặp số $\left( x;y \right)$ thỏa mãn.
Vậy có tất cả 3778 cặp số $\left( x;y \right)$ thỏa mãn đề bài.