Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $(x;y)$ thỏa mãn điều kiện $x\le...

Đặt ${{\log }_{3}}(x+1)=t\Rightarrow x={{3}^{t}}-1$. Khi đó bất phương trình $3\left( {{9}^{y}}+2y \right)\le x+{{\log }_{3}}{{(x+1)}^{3}}-2$ trở thành ${{3.9}^{y}}+6y\le {{3}^{t}}-1+3t-2\Leftrightarrow {{3}^{2y+1}}+3(2y+1)\le {{3}^{t}}+3t (*)$
Xét hàm đặc trưng $f(u)={{3}^{u}}+3u$ trên $\mathbb{R}$
Ta có $f'(u)={{3}^{u}}\ln 3+3>0, \forall u\in \mathbb{R}$ nên hàm số $f(u)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$
Vậy BPT (*) $\Leftrightarrow f(2y+1)\le f(t)\Leftrightarrow 2y+1\le t\Leftrightarrow 2y+1\le {{\log }_{3}}(x+1)$
Mà $x$ nguyên dương và $x\le 2023$ nên $2y+1\le {{\log }_{3}}2024\Leftrightarrow y\le \dfrac{-1+{{\log }_{3}}2024}{2}\approx 2,9$
Lại có $y$ nguyên dương nên $y\in \{1;2\}.$
+) Với $y=1$ ta được $3\le {{\log }_{3}}(x+1)\Leftrightarrow {{3}^{3}}\le x+1\Leftrightarrow 26\le x$. Kết hợp điều kiện $x$ nguyên dương và $x\le 2023$ ta được $x\in \{26; 27; 28;....; 2023\}$. Vậy trường hợp này có $1998$ cặp $(x;y)$ thỏa mãn
+) Với $y=2$ ta được $5\le {{\log }_{3}}(x+1)\Leftrightarrow {{3}^{5}}\le x+1\Leftrightarrow 242\le x$. Kết hợp điều kiện $x$ nguyên dương và $x\le 2023$ ta được $x\in \{242; 243; 244;....; 2023\}$. Vậy trường hợp này có $1782$ cặp $(x;y)$ thỏa mãn
Vậy có $1998+1782=3780$ cặp số nguyên dương $(x;y)$ thỏa mãn.