Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $\left(x;y \right)$ thoả mãn điều...

Ta có $3\left( {{9}^{y}}+2y \right)\le x+{{\log }_{3}}{{\left( x+1 \right)}^{3}}-2$ $\Leftrightarrow 3\left( {{3}^{2y}}+2y \right)\le x+1+3{{\log }_{3}}\left( x+1 \right)-3$ $\Leftrightarrow 3\left( {{3}^{2y}}+2y \right)\le {{3}^{{{\log }_{3}}\left( x+1 \right)}}+3{{\log }_{3}}\left( x+1 \right)-3$ $\Leftrightarrow {{3}^{2y}}+2y\le {{3}^{{{\log }_{3}}\left( x+1 \right)-1}}+{{\log }_{3}}\left( x+1 \right)-1, \left( 1 \right)$
Xét hàm số $y=f\left( t \right)={{3}^{t}}+t$ có ${f}'\left( t \right)={{3}^{t}}.\ln 3+1>0,\forall t$ nên hàm số $y=f\left( t \right)={{3}^{t}}+t$ đồng biến.
Từ $\left( 1 \right)\Leftrightarrow f\left( 2y \right)\le f\left( {{\log }_{3}}\left( x+1 \right)-1 \right)\Leftrightarrow 2y\le {{\log }_{3}}\left( x+1 \right)-1$.
Mà $x\le 2023$, suy ra $2y\le {{\log }_{3}}\left( x+1 \right)-1\le {{\log }_{3}}2024-1\Rightarrow y\le \dfrac{1}{2}{{\log }_{3}}2024-\dfrac{1}{2}$.
Do $y$ nguyên dương nên $y=1$ hoặc $y=2$.
+) Với $y=1\Rightarrow {{\log }_{3}}\left( x+1 \right)\ge 2.1+1\Leftrightarrow x+1\ge 27\Leftrightarrow x\ge 26$.
Mà $x\le 2023$ và $x$ nguyên dương nên $x\in \left\{ 26;27;...;2023 \right\}$.
Do đó có 1998 cặp số nguyên dương $\left(x;y \right)$ thoả mãn.
+) Với $y=2\Rightarrow {{\log }_{3}}\left( x+1 \right)\ge 2.2+1\Leftrightarrow x+1\ge 243\Leftrightarrow x\ge 242$.
Mà $x\le 2023$ và $x$ nguyên dương nên $x\in \left\{ 242;243;...;2023 \right\}$.
Do đó có 1782 cặp số nguyên dương $\left(x;y \right)$ thoả mãn.
Vậy có tất cả 3780 cặp số nguyên dương $\left(x;y \right)$ thoả mãn yêu cầu bài toán.