Có bao nhiêu cặp số nguyên $\left( x;y \right)$ thỏa mãn $0<y\le...

Với $0<y\le 2023$ ta có:
${{2}^{x}}+2x=4+4y+{{\log }_{2}}{{y}^{2}}\Leftrightarrow {{2}^{x}}+2x-2=4y+2+2{{\log }_{2}}y$
$\Leftrightarrow {{2}^{x-1}}+x-1=2y+1+{{\log }_{2}}y$
$\Leftrightarrow {{2}^{x-1}}+x-1=2y+{{\log }_{2}}\left( 2y \right)$
Đặt ${{2}^{x-1}}=u\Rightarrow x-1={{\log }_{2}}u ,\left( u>0 \right)$, suy ra: $u+{{\log }_{2}}u=2y+{{\log }_{2}}\left( 2y \right)$. $\left( 1 \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)=t+{{\log }_{2}}t$ trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$.
Ta có: ${f}'\left( t \right)=1+\dfrac{1}{t\ln 2}>0$, $\forall t>0$ nên: $\left( 1 \right)$ $\Leftrightarrow f\left( u \right)=f\left( 2y \right)\Leftrightarrow u=2y$
Khi đó ta có: $2y={{2}^{x-1}}\Leftrightarrow y={{2}^{x-2}}$ $\left( 2 \right)$
Theo giả thiết: $\left\{ \begin{aligned}
& y\in \mathbb{Z} \\
& 0<y\le 2023 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow 1\le y\le 2023$, suy ra:
$\left\{ \begin{aligned}
& x\in \mathbb{Z} \\
& 1\le {{2}^{x-2}}\le 2023 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x\in \mathbb{Z} \\
& 0\le x-2\le {{\log }_{2}}2023\approx 10,982 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x\in \mathbb{Z} \\
& 0\le x-2\le 10 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x\in \mathbb{Z} \\
& 2\le x\le 12 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow x\in \left\{ 2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12 \right\} $ (có $ 11$ số)
Từ $\left( 2 \right)$ ta có: Ứng với mỗi giá trị của $x$, cho duy nhất một giá trị của $y$ nên có $11$ cặp số nguyên $\left( x;y \right)$ thỏa mãn $0<y\le 2023$.