Có bao nhiêu cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn $-48\le x\le 50$ và...

Ta có: ${{\log }_{5}}\left( 5{{x}^{2}}-10x+10 \right)+{{x}^{2}}-2x\le {{25}^{y}}+2y-1$
$\Leftrightarrow {{\log }_{5}}5\left( {{x}^{2}}-2x+2 \right)+{{x}^{2}}-2x+1\le {{5}^{2y}}+2y$
$\Leftrightarrow {{\log }_{5}}5+{{\log }_{5}}\left[ {{\left( x-1 \right)}^{2}}+1 \right]+{{\left( x-1 \right)}^{2}}\le {{5}^{2y}}+2y$ $\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left[ {{\left( x-1 \right)}^{2}}+1 \right]+{{\left( x-1 \right)}^{2}}+1\le {{5}^{2y}}+2y \left( 1 \right)$
Đặt $u={{\log }_{5}}\left[ {{\left( x-1 \right)}^{2}}+1 \right]$, mà $-48\le x\le 50$ nên $0\le u\le {{\log }_{5}}2402$
$\Rightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+1={{5}^{u}}$
Phương trình trở thành $u+{{5}^{u}}\le 2y+{{5}^{2y}} \left( 2 \right)$
Xét hàm số đặc trưng
$f(t)=t+{{5}^{t}}$ có ${f}'(t)=1+{{5}^{t}}\ln 5>0,\forall t\in \left[ 0;{{\log }_{5}}2402 \right]$.
Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0;{{\log }_{5}}2402 \right)$.
Từ đó suy ra: $\left( 2 \right)\Leftrightarrow u\le 2y$.
$\Rightarrow 0\le 2y\le {{\log }_{5}}2402$
$\Leftrightarrow 0\le y\le \dfrac{{{\log }_{5}}2402}{2}\approx 2,41825$
$\Rightarrow y=\{0;1;2\}$
Đếm các cặp giá trị nguyên của $(x;y)$
+ Với $y=0\Rightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+1\le 1\Leftrightarrow x=1$ nên có 1 cặp.
+ Với $y=1\Rightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+1\le 5\Leftrightarrow -2\le x-1\le \pm 2\Leftrightarrow -1\le x\le 3$ nên có 4 cặp.
+ Với $y=2\Rightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+1\le {{5}^{4}}\Leftrightarrow -4\sqrt{39}\le x-1\le 4\sqrt{39}$
$\Leftrightarrow -23,97999\le x\le 25,97999$ nên có 49 cặp.
Vậy có 54 cặp giá trị nguyên $(x;y)$ thỏa mãn đề bài.