Có bao nhiêu cặp số nguyên $x ; y$ thỏa mãn $0\le x\le 2020$ và...

Ta có:
${{\log }_{4}}\left( 512x+768 \right)+2x-1=2y+{{16}^{y}}$
$\Leftrightarrow {{\log }_{4}}256\left( 2x+3 \right)+2x-1=2y+{{4}^{2y}}$
$\Leftrightarrow {{\log }_{4}}\left( 2x+3 \right)+\left( 2x+3 \right)=2y+{{4}^{2y}}$.
Xét hàm số $f\left( t \right)=t+{{4}^{t}}$ trên $\mathbb{R}$.
$f'\left( t \right)=1+{{4}^{t}}\ln 4>0,\forall x\in \mathbb{R}$. Suy ra hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Khi đó: ${{\log }_{4}}\left( 2x+3 \right)=2y\Leftrightarrow 2x+3={{16}^{y}}\Leftrightarrow x=\dfrac{{{16}^{y}}-3}{2}$.
Vì: $0\le x\le 2020\Leftrightarrow 0\le \dfrac{{{16}^{y}}-3}{2}\le 2020\Leftrightarrow 3\le {{16}^{y}}\le 4043\Leftrightarrow {{\log }_{16}}3\le y\le {{\log }_{16}}4043$.
Mà $y\in \mathbb{Z}\Rightarrow y\in \left\{ 1 ; 2 \right\}$.
Với $y=1\Rightarrow x=\dfrac{13}{2}\left( l \right)$.
Với $y=2\Rightarrow x=\dfrac{253}{2}\left( l \right)$.
Vậy không có cặp số $\left( x; y \right)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.