Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $\left( x;y \right)$ thỏa mãn điều kiện $x\le 2022$ và $3\left( {{9}^{y}}+2y \right)+2\le x+{{\log }_{3}}{{\left( x+1 \right)}^{3}}$ ?
A. $2$.
B. $3776$.
C. 3778.
D. $6$.
A. $2$.
B. $3776$.
C. 3778.
D. $6$.
Ta có:
$3\left( {{9}^{y}}+2y \right)+2\le x+{{\log }_{3}}{{\left( x+1 \right)}^{3}}$
$\Leftrightarrow {{3}^{2y+1}}+3\left( 2y+1 \right)\le x+1+3{{\log }_{3}}\left( x+1 \right)$ với điều kiện $x+1>0$.
Xét hàm số $f\left( t \right)={{3}^{t}}+3t$
Ta có ${f}'\left( t \right)={{3}^{t}}\ln 3+3>0,\forall t\in \mathbb{R}$
Suy ra $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Nên:
${{3}^{2y+1}}+3\left( 2y+1 \right)\le x+1+3{{\log }_{3}}\left( x+1 \right)\Leftrightarrow f\left( 2y+1 \right)\le f\left( {{\log }_{3}}\left( x+1 \right) \right)$ $\Leftrightarrow 2y+1\le {{\log }_{3}}\left( x+1 \right)$
Mà $x\le 2022$ nên $x+1\le 2023\Rightarrow {{\log }_{3}}\left( x+1 \right)\le {{\log }_{3}}2023\simeq 6,9$.
$\Rightarrow 2y+1\le 6$ hay $y\le \dfrac{5}{2}$.
$y$ nguyên dương nên $y\in \left\{ 1;2 \right\}$.
+) Với $y=1$ thì $3\le {{\log }_{3}}\left( x+1 \right)\Leftrightarrow x\ge 26$ nên $26\le x\le 2022$ $\Rightarrow $ có 1997 cặp $\left( x;y \right)$.
+) Với $y=2$ thì $5\le {{\log }_{3}}\left( x+1 \right)\Leftrightarrow x\ge 242$ nên $242\le x\le 2022$ $\Rightarrow $ có 1781 cặp $\left( x;y \right)$.
Vậy có 3778 cặp $\left( x;y \right)$ thỏa ycbt.
$3\left( {{9}^{y}}+2y \right)+2\le x+{{\log }_{3}}{{\left( x+1 \right)}^{3}}$
$\Leftrightarrow {{3}^{2y+1}}+3\left( 2y+1 \right)\le x+1+3{{\log }_{3}}\left( x+1 \right)$ với điều kiện $x+1>0$.
Xét hàm số $f\left( t \right)={{3}^{t}}+3t$
Ta có ${f}'\left( t \right)={{3}^{t}}\ln 3+3>0,\forall t\in \mathbb{R}$
Suy ra $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Nên:
${{3}^{2y+1}}+3\left( 2y+1 \right)\le x+1+3{{\log }_{3}}\left( x+1 \right)\Leftrightarrow f\left( 2y+1 \right)\le f\left( {{\log }_{3}}\left( x+1 \right) \right)$ $\Leftrightarrow 2y+1\le {{\log }_{3}}\left( x+1 \right)$
Mà $x\le 2022$ nên $x+1\le 2023\Rightarrow {{\log }_{3}}\left( x+1 \right)\le {{\log }_{3}}2023\simeq 6,9$.
$\Rightarrow 2y+1\le 6$ hay $y\le \dfrac{5}{2}$.
$y$ nguyên dương nên $y\in \left\{ 1;2 \right\}$.
+) Với $y=1$ thì $3\le {{\log }_{3}}\left( x+1 \right)\Leftrightarrow x\ge 26$ nên $26\le x\le 2022$ $\Rightarrow $ có 1997 cặp $\left( x;y \right)$.
+) Với $y=2$ thì $5\le {{\log }_{3}}\left( x+1 \right)\Leftrightarrow x\ge 242$ nên $242\le x\le 2022$ $\Rightarrow $ có 1781 cặp $\left( x;y \right)$.
Vậy có 3778 cặp $\left( x;y \right)$ thỏa ycbt.
Đáp án C.