Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu cặp số $\left( x;y \right)$ nguyên dương thỏa mãn:
${{2}^{\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)}}\ln \left[ {{\left( x+1 \right)}^{2}}+1 \right]={{2}^{y-x-3}}\ln \sqrt{x+y-1}$ và $x;y\le 2023$ ?
A. $2020$.
B. $12$.
C. $45$.
D. $44$.
${{2}^{\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)}}\ln \left[ {{\left( x+1 \right)}^{2}}+1 \right]={{2}^{y-x-3}}\ln \sqrt{x+y-1}$ và $x;y\le 2023$ ?
A. $2020$.
B. $12$.
C. $45$.
D. $44$.
${{2}^{\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)}}\ln \left[ {{\left( x+1 \right)}^{2}}+1 \right]={{2}^{y-x-3}}\ln \sqrt{x+y-1}$
$\Leftrightarrow {{2}^{{{x}^{2}}-1}}\ln \left( {{x}^{2}}+2x+2 \right)={{2}^{y-x-4}}\ln \left( x+y-1 \right)$
$\Leftrightarrow {{2}^{{{x}^{2}}+2x+2}}\ln \left( {{x}^{2}}+2x+2 \right)={{2}^{x+y-1}}\ln \left( x+y-1 \right)$ (*)
Đặt $u={{x}^{2}}+2x+2\ge 1,v=x+y-1\ge 1$ với mọi $x,y$ nguyên dương.
(*) $\Leftrightarrow f\left( u \right)=f\left( v \right)$ với $f\left( t \right)={{2}^{t}}\ln t; t\ge 1$.
Ta có ${f}'\left( t \right)={{2}^{t}}\ln 2.\ln t+\dfrac{{{2}^{t}}}{t}>0,\forall t\ge 1$ do đó hàm $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\left[ 1;+\infty \right)$.
Từ đó ta có $u=v\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2x+2=x+y-1\Leftrightarrow y={{x}^{2}}+x+3\le 2023$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x-2020\le 0\Leftrightarrow -45,447...\le x\le 44,447...$ mà $x$ nguyên dương nên $x\in \left\{ 1;2;3;...;43;44 \right\}$. Với mỗi giá trị $x$ ta được một giá trị $y={{x}^{2}}+x+3$. Vậy có $44$ cặp số $\left( x;y \right)$ thỏa đề bài.
$\Leftrightarrow {{2}^{{{x}^{2}}-1}}\ln \left( {{x}^{2}}+2x+2 \right)={{2}^{y-x-4}}\ln \left( x+y-1 \right)$
$\Leftrightarrow {{2}^{{{x}^{2}}+2x+2}}\ln \left( {{x}^{2}}+2x+2 \right)={{2}^{x+y-1}}\ln \left( x+y-1 \right)$ (*)
Đặt $u={{x}^{2}}+2x+2\ge 1,v=x+y-1\ge 1$ với mọi $x,y$ nguyên dương.
(*) $\Leftrightarrow f\left( u \right)=f\left( v \right)$ với $f\left( t \right)={{2}^{t}}\ln t; t\ge 1$.
Ta có ${f}'\left( t \right)={{2}^{t}}\ln 2.\ln t+\dfrac{{{2}^{t}}}{t}>0,\forall t\ge 1$ do đó hàm $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\left[ 1;+\infty \right)$.
Từ đó ta có $u=v\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2x+2=x+y-1\Leftrightarrow y={{x}^{2}}+x+3\le 2023$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x-2020\le 0\Leftrightarrow -45,447...\le x\le 44,447...$ mà $x$ nguyên dương nên $x\in \left\{ 1;2;3;...;43;44 \right\}$. Với mỗi giá trị $x$ ta được một giá trị $y={{x}^{2}}+x+3$. Vậy có $44$ cặp số $\left( x;y \right)$ thỏa đề bài.
Đáp án D.