Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số nguyên dương $x$ thỏa mãn: ${{\log }_{7}}\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)\ge {{\log }_{2}}x?$
A. 4.
B. 3.
C. 2.
D. 1.
A. 4.
B. 3.
C. 2.
D. 1.
Điều kiện: x > 0.
Đặt $t={{\log }_{2}}x$. Khi đó: $x={{2}^{t}}$. Ta có BPT: ${{\log }_{7}}\left( {{4}^{t}}+{{2}^{t}}+1 \right)\ge t\Leftrightarrow {{4}^{t}}+{{2}^{t}}+1\ge {{7}^{t}}.$
$\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{4}{7} \right)}^{t}}+{{\left( \dfrac{2}{7} \right)}^{t}}+{{\left( \dfrac{1}{7} \right)}^{t}}\ge 1$. (*)
Xét hàm số $f\left( t \right)={{\left( \dfrac{4}{7} \right)}^{t}}+{{\left( \dfrac{2}{7} \right)}^{t}}+{{\left( \dfrac{1}{7} \right)}^{t}}$.
Ta có $f'\left( t \right)={{\left( \dfrac{4}{7} \right)}^{t}}\ln \dfrac{4}{7}+{{\left( \dfrac{2}{7} \right)}^{t}}\ln \dfrac{2}{7}+{{\left( \dfrac{1}{7} \right)}^{t}}\ln \dfrac{1}{7}<0, \forall t\in \mathbb{R}.$
Nên f(t) là hàm số nghịch biến trên R.
Do đó, (*) $\Leftrightarrow f\left( t \right)\ge f\left( 1 \right)\Leftrightarrow t\le 1\Leftrightarrow {{\log }_{2}}x\le 1\Leftrightarrow x\le 2.$
Kết hợp với điều kiện x > 0, ta có 2 giá trị nguyên dương của x là x = 0, x = 1.
Đặt $t={{\log }_{2}}x$. Khi đó: $x={{2}^{t}}$. Ta có BPT: ${{\log }_{7}}\left( {{4}^{t}}+{{2}^{t}}+1 \right)\ge t\Leftrightarrow {{4}^{t}}+{{2}^{t}}+1\ge {{7}^{t}}.$
$\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{4}{7} \right)}^{t}}+{{\left( \dfrac{2}{7} \right)}^{t}}+{{\left( \dfrac{1}{7} \right)}^{t}}\ge 1$. (*)
Xét hàm số $f\left( t \right)={{\left( \dfrac{4}{7} \right)}^{t}}+{{\left( \dfrac{2}{7} \right)}^{t}}+{{\left( \dfrac{1}{7} \right)}^{t}}$.
Ta có $f'\left( t \right)={{\left( \dfrac{4}{7} \right)}^{t}}\ln \dfrac{4}{7}+{{\left( \dfrac{2}{7} \right)}^{t}}\ln \dfrac{2}{7}+{{\left( \dfrac{1}{7} \right)}^{t}}\ln \dfrac{1}{7}<0, \forall t\in \mathbb{R}.$
Nên f(t) là hàm số nghịch biến trên R.
Do đó, (*) $\Leftrightarrow f\left( t \right)\ge f\left( 1 \right)\Leftrightarrow t\le 1\Leftrightarrow {{\log }_{2}}x\le 1\Leftrightarrow x\le 2.$
Kết hợp với điều kiện x > 0, ta có 2 giá trị nguyên dương của x là x = 0, x = 1.
Đáp án C.