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Câu hỏi: Có bao nhiêu số số thực $a$, biết rằng phương trình $z^4+a z^2+1=0$ có bốn nghiệm $z_1, z_2, z_3, z_4$ thỏa mãn $\left(z_1^2+4\right)\left(z_2^2+4\right)\left(z_3^2+4\right)\left(z_4^2+4\right)=441$ ?
A. 4 .
B. 2 .
C. 1 .
D. 3 .
A. 4 .
B. 2 .
C. 1 .
D. 3 .
Đặt $f(z)=z^4+a z^2+1=\left(z-z_1\right)\left(z-z_2\right)\left(z-z_3\right)\left(z-z_4\right)$.
Ta có $M=\left(z_1^2+4\right)\left(z_2^2+4\right)\left(z_3^2+4\right)\left(z_4^2+4\right)=\prod_{i=1}^4\left[z_i^2-(2 i)^2\right]$
$M=\left[\left(z_1-2 i\right)\left(z_2-2 i\right)\left(z_3-2 i\right)\left(z_4-2 i\right)\right]\left[\left(z_1+2 i\right)\left(z_2+2 i\right)\left(z_3+2 i\right)\left(z_4+2 i\right)\right]$
$M=f(2 i) \cdot f(-2 i)$.
Mà $f(2 i)=(2 i)^4+a(2 i)^2+1=17-4 a ; f(-2 i)=(-2 i)^4+a(-2 i)^2+1=17-4 a$.
Suy ra $M=(17-4 a)^2=441 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}a=-1 \\ a=\dfrac{19}{2} \text {. }\end{array}\right.$
Ta có $M=\left(z_1^2+4\right)\left(z_2^2+4\right)\left(z_3^2+4\right)\left(z_4^2+4\right)=\prod_{i=1}^4\left[z_i^2-(2 i)^2\right]$
$M=\left[\left(z_1-2 i\right)\left(z_2-2 i\right)\left(z_3-2 i\right)\left(z_4-2 i\right)\right]\left[\left(z_1+2 i\right)\left(z_2+2 i\right)\left(z_3+2 i\right)\left(z_4+2 i\right)\right]$
$M=f(2 i) \cdot f(-2 i)$.
Mà $f(2 i)=(2 i)^4+a(2 i)^2+1=17-4 a ; f(-2 i)=(-2 i)^4+a(-2 i)^2+1=17-4 a$.
Suy ra $M=(17-4 a)^2=441 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}a=-1 \\ a=\dfrac{19}{2} \text {. }\end{array}\right.$
Đáp án B.