Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $\left| {{z}^{2}} \right|=\left| z-\bar{z} \right|$ và $\left| \left( z-2 \right)\left( \bar{z}-2i \right) \right|={{\left| z+2i \right|}^{2}}$ ?
A. $2$.
B. $3$.
C. $1$.
D. $4$.
A. $2$.
B. $3$.
C. $1$.
D. $4$.
$\left| \left( z-2 \right)\left( \bar{z}-2i \right) \right|={{\left| z+2i \right|}^{2}}\Leftrightarrow \left| z-2 \right|\left| \bar{z}-2i \right|=\left| z+2i \right|\left| \bar{z}-2i \right|$ $\Leftrightarrow \left| \bar{z}-2i \right|\cdot \left( \left| z-2 \right|-\left| z+2i \right| \right)=0$.
Trường hợp 1: $\left| \bar{z}-2i \right|=0\Leftrightarrow \bar{z}=2i\Leftrightarrow z=-2i$
Trường hợp 2: $\left| z-2 \right|-\left| z+2i \right|=0\Leftrightarrow \left| z-2 \right|=\left| z+2i \right|$
Đặt $z=x+y\cdot i$ ta có $z-2=x-2+y\cdot i$ và $z+2i=x+\left( y+2 \right)\cdot i$.
Khi đó $\left| z-2 \right|=\left| z+2i \right|\Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}={{x}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x+4+{{y}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4y+4$ $\Leftrightarrow -4x=4y\Leftrightarrow x=-y$.
Lại có $\left| {{z}^{2}} \right|=\left| z-\bar{z} \right|\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=2\left| y \right|\Leftrightarrow 2{{y}^{2}}=2\left| y \right|\Leftrightarrow 2\left| y \right|\cdot \left( \left| y \right|-1 \right)=0$ $\Leftrightarrow y=0$ hoặc $y=\pm 1$.
Do đó ta có các số $z\in \left\{ 0;1-i;-1+i;-2i \right\}$ thỏa mãn.
Vậy có $4$ số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Trường hợp 1: $\left| \bar{z}-2i \right|=0\Leftrightarrow \bar{z}=2i\Leftrightarrow z=-2i$
Trường hợp 2: $\left| z-2 \right|-\left| z+2i \right|=0\Leftrightarrow \left| z-2 \right|=\left| z+2i \right|$
Đặt $z=x+y\cdot i$ ta có $z-2=x-2+y\cdot i$ và $z+2i=x+\left( y+2 \right)\cdot i$.
Khi đó $\left| z-2 \right|=\left| z+2i \right|\Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}={{x}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x+4+{{y}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4y+4$ $\Leftrightarrow -4x=4y\Leftrightarrow x=-y$.
Lại có $\left| {{z}^{2}} \right|=\left| z-\bar{z} \right|\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=2\left| y \right|\Leftrightarrow 2{{y}^{2}}=2\left| y \right|\Leftrightarrow 2\left| y \right|\cdot \left( \left| y \right|-1 \right)=0$ $\Leftrightarrow y=0$ hoặc $y=\pm 1$.
Do đó ta có các số $z\in \left\{ 0;1-i;-1+i;-2i \right\}$ thỏa mãn.
Vậy có $4$ số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án D.