Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-mx+2023$ có hai điểm cực trị thuộc khoảng $\left( -4;3 \right)$ ?
A. $5$.
B. $4$.
C. $3$.
D. $2$.
A. $5$.
B. $4$.
C. $3$.
D. $2$.
Ta có: $y'={{x}^{2}}-2x-m$. Xét phương trình $y'=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x-m=0 \left( 1 \right)$.
Để hàm số có hai điểm cực trị thuộc khoảng $\left( -4;3 \right)$ thì phương trình $\left( 1 \right)$ phải có 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng $\left( -4;3 \right)$
Ta có: $\left( 1 \right)\Leftrightarrow m={{x}^{2}}-2x$.
Xét hàm số $g\left( x \right)={{x}^{2}}-2x$ có $g'\left( x \right)=2x-2$. Cho $g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 2x-2=0\Leftrightarrow x=1$.
Bảng biến thiên của $g\left( x \right)$
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, phương trình $\left( 1 \right)$ có 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng $\left( -4;3 \right)$ khi $-1<m<3$.
Do $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ 0;1;2 \right\}$.
Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa yêu cầu đề bài.
Để hàm số có hai điểm cực trị thuộc khoảng $\left( -4;3 \right)$ thì phương trình $\left( 1 \right)$ phải có 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng $\left( -4;3 \right)$
Ta có: $\left( 1 \right)\Leftrightarrow m={{x}^{2}}-2x$.
Xét hàm số $g\left( x \right)={{x}^{2}}-2x$ có $g'\left( x \right)=2x-2$. Cho $g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 2x-2=0\Leftrightarrow x=1$.
Bảng biến thiên của $g\left( x \right)$
Do $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ 0;1;2 \right\}$.
Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa yêu cầu đề bài.
Đáp án C.