Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y=-{{x}^{4}}+6{{x}^{2}}+mx$ có ba điểm cực trị?
A. $17$.
B. $15$.
C. $3$.
D. $7$.
A. $17$.
B. $15$.
C. $3$.
D. $7$.
Ta có: $y'=-4{{x}^{3}}+12x+m$. Xét phương trình $y'=0\Leftrightarrow -4{{x}^{3}}+12x+m=0 \left( 1 \right)$.
Để hàm số có ba điểm cực trị thì phương trình $\left( 1 \right)$ phải có 3 nghiệm phân biệt.
Ta có: $\left( 1 \right)\Leftrightarrow m=4{{x}^{3}}-12x$.
Xét hàm số $g\left( x \right)=4{{x}^{3}}-12x$ có $g'\left( x \right)=12{{x}^{2}}-12$. Cho $g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 12{{x}^{2}}-12=0\Leftrightarrow x=\pm 1$.
Bảng biến thiên của $g\left( x \right)$
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, phương trình $\left( 1 \right)$ có 3 nghiệm phân biệt khi $-8<m<8$.
Do $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ -7,-6,-5,...,5,6,7 \right\}$.
Vậy có 15 giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa yêu cầu đề bài.
Để hàm số có ba điểm cực trị thì phương trình $\left( 1 \right)$ phải có 3 nghiệm phân biệt.
Ta có: $\left( 1 \right)\Leftrightarrow m=4{{x}^{3}}-12x$.
Xét hàm số $g\left( x \right)=4{{x}^{3}}-12x$ có $g'\left( x \right)=12{{x}^{2}}-12$. Cho $g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 12{{x}^{2}}-12=0\Leftrightarrow x=\pm 1$.
Bảng biến thiên của $g\left( x \right)$
Do $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ -7,-6,-5,...,5,6,7 \right\}$.
Vậy có 15 giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa yêu cầu đề bài.
Đáp án B.