Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y=3{{x}^{4}}-4\left( 4+m \right){{x}^{3}}+12\left( 3-m \right)x+2$ có ba điểm cực trị?
A. $2$.
B. $3$.
C. $5$.
D. $4$.
A. $2$.
B. $3$.
C. $5$.
D. $4$.
Ta có ${y}'=12{{x}^{3}}-12\left( 4+m \right){{x}^{2}}+12\left( 3-m \right)$ nên
${y}'=0\Leftrightarrow {{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+3=\left( {{x}^{2}}+1 \right)m\Leftrightarrow m=x-4+\dfrac{-x+7}{{{x}^{2}}+1}$.
Đặt $f\left( x \right)=x-4+\dfrac{-x+7}{{{x}^{2}}+1}$, ${f}'\left( x \right)=1+\dfrac{{{x}^{2}}-14x-1}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}$.
${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{4}}+3{{x}^{2}}-14x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=2. \\
\end{aligned} \right.$
Lập bảng biến thiên
Hàm số $y=3{{x}^{4}}-4\left( 4+m \right){{x}^{3}}+12\left( 3-m \right)x+2$ có ba điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình $m=x-4+\dfrac{-x+7}{{{x}^{2}}+1}$ có ba nghiệm phân biệt.
Dựa vào bảng biến thiên suy ra $-1<m<3$.
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ 0;1;2 \right\}$.
Vậy có $3$ giá trị $m$ thỏa yêu cầu bài toán.
${y}'=0\Leftrightarrow {{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+3=\left( {{x}^{2}}+1 \right)m\Leftrightarrow m=x-4+\dfrac{-x+7}{{{x}^{2}}+1}$.
Đặt $f\left( x \right)=x-4+\dfrac{-x+7}{{{x}^{2}}+1}$, ${f}'\left( x \right)=1+\dfrac{{{x}^{2}}-14x-1}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}$.
${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{4}}+3{{x}^{2}}-14x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=2. \\
\end{aligned} \right.$
Lập bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên suy ra $-1<m<3$.
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ 0;1;2 \right\}$.
Vậy có $3$ giá trị $m$ thỏa yêu cầu bài toán.
Đáp án B.
