Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ thuộc $\left[ -10;10 \right]$...

Xét ${{x}^{2}}+3x\ge 0\Leftrightarrow x\le -3\vee x\ge 0$.
$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} y=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{\left( x-1 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+3x}}{{{x}^{2}}+\left( m+1 \right)x-m-2}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{x\left( 1-\dfrac{1}{x} \right).x\sqrt{1+\dfrac{3}{x}}}{{{x}^{2}}\left( 1+\dfrac{m+1}{x}+\dfrac{-m-2}{{{x}^{2}}} \right)}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{\left( 1-\dfrac{1}{x} \right).\sqrt{1+\dfrac{3}{x}}}{1+\dfrac{m+1}{x}+\dfrac{-m-2}{{{x}^{2}}}}=1$
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y=1$
$\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }} y=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{\left( x-1 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+3x}}{{{x}^{2}}+\left( m+1 \right)x-m-2}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{x\left( 1-\dfrac{1}{x} \right).\left( -x \right)\sqrt{1+\dfrac{3}{x}}}{{{x}^{2}}\left( 1+\dfrac{m+1}{x}+\dfrac{-m-2}{{{x}^{2}}} \right)}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{-\left( 1-\dfrac{1}{x} \right).\sqrt{1+\dfrac{3}{x}}}{1+\dfrac{m+1}{x}+\dfrac{-m-2}{{{x}^{2}}}}=-1$
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y=-1$
Xét ${{x}^{2}}+\left( m+1 \right)x-m-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=-m-2 \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó, đồ thị hàm số có đúng ba đường tiệm cận khi và chỉ khi $\left\{ \begin{aligned}
& -m-2\ne 1 \\
& \left[ \begin{aligned}
& -m-2\le -3 \\
& -m-2\ge 0 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\ne -3 \\
& \left[ \begin{aligned}
& m\ge 1 \\
& m\le -2 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.$
Lại có $m\in \mathbb{Z}$ và $m\in \left[ -10;10 \right]$ nên $m\in \left[ 1;10 \right]\cup \left[ -10;-2 \right]\backslash \left\{ -3 \right\}$
Do vậy có $18$ giá trị $m$ nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.