Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y=mx+\sqrt{{{x}^{2}}+x+1}$ có tiệm cận ngang?
A. $3$
B. $1$
C. $0$
D. $2$
A. $3$
B. $1$
C. $0$
D. $2$
Nếu $m>0$ thì đồ thị hàm số tiệm cận ngang khi $x\to -\infty $ và $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }} \left( mx+\sqrt{{{x}^{2}}+x+1} \right)$ hữu hạn.
Xét: $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }} \left( mx+\sqrt{{{x}^{2}}+x+1} \right)=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }} \left( \dfrac{\left( {{m}^{2}}-1 \right){{x}^{2}}-x-1}{mx-\sqrt{{{x}^{2}}+x+1}} \right)$
Giới hạn có kết quả hữu hạn khi: ${{m}^{2}}-1=0\Leftrightarrow m=1\left( m>0 \right)$
Nếu $m<0$ thì đồ thị hàm số tiệm cận ngang khi $x\to +\infty $ và $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} \left( mx+\sqrt{{{x}^{2}}+x+1} \right)$ hữu hạn.
Xét: $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} \left( mx+\sqrt{{{x}^{2}}+x+1} \right)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} \left( \dfrac{\left( {{m}^{2}}-1 \right){{x}^{2}}-x-1}{mx-\sqrt{{{x}^{2}}+x+1}} \right)$
Giới hạn có kết quả hữu hạn khi: ${{m}^{2}}-1=0\Leftrightarrow m=-1\left( m<0 \right)$
Vậy có $2$ giá trị nguyên của tham số $m$ để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang.
Xét: $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }} \left( mx+\sqrt{{{x}^{2}}+x+1} \right)=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }} \left( \dfrac{\left( {{m}^{2}}-1 \right){{x}^{2}}-x-1}{mx-\sqrt{{{x}^{2}}+x+1}} \right)$
Giới hạn có kết quả hữu hạn khi: ${{m}^{2}}-1=0\Leftrightarrow m=1\left( m>0 \right)$
Nếu $m<0$ thì đồ thị hàm số tiệm cận ngang khi $x\to +\infty $ và $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} \left( mx+\sqrt{{{x}^{2}}+x+1} \right)$ hữu hạn.
Xét: $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} \left( mx+\sqrt{{{x}^{2}}+x+1} \right)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} \left( \dfrac{\left( {{m}^{2}}-1 \right){{x}^{2}}-x-1}{mx-\sqrt{{{x}^{2}}+x+1}} \right)$
Giới hạn có kết quả hữu hạn khi: ${{m}^{2}}-1=0\Leftrightarrow m=-1\left( m<0 \right)$
Vậy có $2$ giá trị nguyên của tham số $m$ để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang.
Đáp án D.
