Google
Câu hỏi: Số giá trị nguyên của $m$ thuộc $\left[ -10 ; 10 \right]$ để đồ thị hàm số $y=\dfrac{\left( x-1 \right).\sqrt{{{x}^{2}}+3x}}{{{x}^{2}}+\left( m+1 \right)x-m-2}$ có đúng ba đường tiệm cận là
A. $20$.
B. $18$
C. $17$.
D. $19$.
A. $20$.
B. $18$
C. $17$.
D. $19$.
Ta có $y=\dfrac{\left( x-1 \right).\sqrt{{{x}^{2}}+3x}}{{{x}^{2}}+\left( m+1 \right)x-m-2}=\dfrac{\left( x-1 \right).\sqrt{{{x}^{2}}+3x}}{\left( x-1 \right)\left( x+m+2 \right)}$
Điều kiện $\left\{\begin{array}{c}{\left[\begin{array}{c}x \geq 0 \\ x \leq-3\end{array}\right.} \\ x \neq 1 \\ x \neq-m-2\end{array}\right.$
Với điều kiện trên thì $y=\dfrac{\left( x-1 \right).\sqrt{{{x}^{2}}+3x}}{{{x}^{2}}+\left( m+1 \right)x-m-2}=\dfrac{\left( x-1 \right).\sqrt{{{x}^{2}}+3x}}{\left( x-1 \right)\left( x+m+2 \right)}=\dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}+3x}}{x+m+2}$
Ta có $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}+3x}}{x+m+2}=1\Rightarrow y=1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
$\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}+3x}}{x+m+2}=-1\Rightarrow y=-1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Để đồ thị hàm số có 3 tiệm cận thì cần có thêm 1 tiệm cận đứng $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
-m-2\ge 0 \\
-m-2\le -3 \\
\end{matrix}\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
m\le -2 \\
m\ge 1 \\
\end{matrix} \right. \right.$
Do $m\in \mathbb{Z}, m\in \left[ -10;10 \right]$ nên có $19$ giá trị nguyên.
$\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}+3x}}{x+m+2}=-1\Rightarrow y=-1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Để đồ thị hàm số có 3 tiệm cận thì cần có thêm 1 tiệm cận đứng $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
-m-2\ge 0 \\
-m-2\le -3 \\
\end{matrix}\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
m\le -2 \\
m\ge 1 \\
\end{matrix} \right. \right.$
Do $m\in \mathbb{Z}, m\in \left[ -10;10 \right]$ nên có $19$ giá trị nguyên.
Đáp án D.