Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu cặp số nguyên $\left( x;y \right)$ thỏa mãn $0<y<2023$ và ${{3}^{x}}+3x-6=9y+{{\log }_{3}}{{y}^{3}}.$
A. $9.$
B. $7.$
C. $8.$
D. $2023.$
A. $9.$
B. $7.$
C. $8.$
D. $2023.$
Ta có ${{3}^{x}}+3x-6= 9y+{{\log }_{3}}{{y}^{3}} \Leftrightarrow {{3}^{x}}+3x+3= 9y+3{{\log }_{3}}y+9$.
Đặt ${{\log }_{3}}y= z$ suy ra $y= {{3}^{z}}$. Do $0< y < 2023$ nên ${{\log }_{3}}y= z < {{\log }_{3}}2023 < 8$.
Ta có $ {{3}^{x}}+3x+3= {{9.3}^{z}}+3.z+9 \Leftrightarrow {{3}^{x-2}}+ \dfrac{x-2}{3}+1= {{3}^{z}}+ \dfrac{z}{3}+1$.
Xét hàm số $f(t) = {{3}^{t}}+ \dfrac{t}{3}+1 $ có ${f}'(t) = {{3}^{t}}.\ln 3+ \dfrac{1}{3} > 0, \forall t\in \mathbb{R} $ nên hàm số $f(t)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Do đó ${{3}^{x-2}}+ \dfrac{x-2}{3}+1= {{3}^{z}}+ \dfrac{z}{3}+1 \Leftrightarrow f(x-2)= f(z) \Leftrightarrow x-2=z$.
Mặt khác do $x$ nguyên nên $z$ cũng là số nguyên bé thua 8 và do $y= {{3}^{z}}$ mà $y$ nguyên nên $z$ phải là số nguyên không âm và bé thua 8 hay $z \in \left\{ 0; 1; 2; ...; 7 \right\}$ suy ra có đúng 8 cặp số nguyên $(x; y)$ thỏa mãn $0< y < 2023$ và ${{3}^{x}}+3x-6= 9y+{{\log }_{3}}{{y}^{3}}$.
Đặt ${{\log }_{3}}y= z$ suy ra $y= {{3}^{z}}$. Do $0< y < 2023$ nên ${{\log }_{3}}y= z < {{\log }_{3}}2023 < 8$.
Ta có $ {{3}^{x}}+3x+3= {{9.3}^{z}}+3.z+9 \Leftrightarrow {{3}^{x-2}}+ \dfrac{x-2}{3}+1= {{3}^{z}}+ \dfrac{z}{3}+1$.
Xét hàm số $f(t) = {{3}^{t}}+ \dfrac{t}{3}+1 $ có ${f}'(t) = {{3}^{t}}.\ln 3+ \dfrac{1}{3} > 0, \forall t\in \mathbb{R} $ nên hàm số $f(t)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Do đó ${{3}^{x-2}}+ \dfrac{x-2}{3}+1= {{3}^{z}}+ \dfrac{z}{3}+1 \Leftrightarrow f(x-2)= f(z) \Leftrightarrow x-2=z$.
Mặt khác do $x$ nguyên nên $z$ cũng là số nguyên bé thua 8 và do $y= {{3}^{z}}$ mà $y$ nguyên nên $z$ phải là số nguyên không âm và bé thua 8 hay $z \in \left\{ 0; 1; 2; ...; 7 \right\}$ suy ra có đúng 8 cặp số nguyên $(x; y)$ thỏa mãn $0< y < 2023$ và ${{3}^{x}}+3x-6= 9y+{{\log }_{3}}{{y}^{3}}$.
Đáp án C.