Có bao nhiêu cặp số nguyên $\left( x;y \right)$ thỏa mãn...

$\dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+7x}{x}>{{\log }_{2}}\dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{x}+{{\left( \dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{x} \right)}^{{{\log }_{2}}3}} \left( 1 \right)$.
Điều kiện $\dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{x}>0\Leftrightarrow x>0$, mà $x\in \mathbb{Z}$ $\Rightarrow x\ge 1$
Đặt $t=\dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{x}\Rightarrow t\ge 1$.
Khi đó, $\left( 1 \right)\Leftrightarrow t+7>{{\log }_{2}}t+{{t}^{{{\log }_{2}}3}}$ $\Leftrightarrow t+7-{{\log }_{2}}t-{{t}^{{{\log }_{2}}3}}>0$.
Xét hàm số $f\left( t \right)=t+7-{{\log }_{2}}t-{{t}^{{{\log }_{2}}3}}$ với $t\ge 1$.
$\Rightarrow {f}'\left( t \right)=1-\dfrac{1}{t\ln 2}-{{\log }_{2}}3.{{t}^{{{\log }_{2}}\dfrac{3}{2}}}<0,\forall t\ge 1$
Nên $f\left( t \right)$ nghịch biến trên $\left[ 1;+\infty \right)$.
Mặt khác $f\left( 4 \right)=0$ nên $t=4$ là nghiệm duy nhất của phương trình $f\left( t \right)=0$.
Khi đó $f\left( t \right)>0\Leftrightarrow 0<t<4\Leftrightarrow \dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{x}<4\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}<4x\Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}<4$
Để tồn tại số thực $y$ thì $x\in \left\{ 1;2;3 \right\}$ nên ta có tất cả $9$ cặp số nguyên $\left( x;y \right)$.