Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu cặp số nguyên $\left( x ; y \right)$ thỏa mãn ${{\log }_{2}}\dfrac{5x+4y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy+3}+4\left( x+y \right)={{\left( x+y-1 \right)}^{2}}+{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}$ ?
A. 4.
B. 3.
C. 8.
D. 6.
A. 4.
B. 3.
C. 8.
D. 6.
Xét phương trình: ${{\log }_{2}}\dfrac{5x+4y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy+3}+4\left( x+y \right)={{\left( x+y-1 \right)}^{2}}+{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}} \left( 1 \right)$
Điều kiện: $5x+4y>0$
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( 10x+8y \right)+\left( 10x+8y \right)={{\log }_{2}}\left( 2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+2xy+6 \right)+\left( 2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+2xy+6 \right)$
$\Leftrightarrow f\left( 10x+8y \right)=f\left( 2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+2xy+6 \right)$, với $f\left( t \right)={{\log }_{2}}t+t$ là hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0 ; +\infty \right)$.
Suy ra, $\left( 1 \right)\Leftrightarrow 10x+8y=2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+2xy+6$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy-5x-4y+3=0 \left( 2 \right)$.
$\left( 2 \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}+\left( y-5 \right)x+\left( {{y}^{2}}-4y+3 \right)=0 \left( 3 \right)$
$\left( 3 \right)$ là phương trình ẩn $x$, có nghiệm khi ${{\Delta }_{x}}=-3{{y}^{2}}+6y+13\ge 0$ $\Leftrightarrow y\in \left[ \dfrac{3-4\sqrt{3}}{3} ; \dfrac{3+4\sqrt{3}}{3} \right]$.
Mà $y\in \mathbb{Z}$, suy ra: $y\in \left\{ -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 \right\}$.
$y=-1$ : thay vào $\left( 3 \right)$ ta được: ${{x}^{2}}-6x+8=0\overset{x\in \mathbb{Z}}{\mathop{\Rightarrow }} x=2; 4$. Suy ra, có 2 cặp số nguyên $\left( x ; y \right)$ thỏa mãn.
$y=0$ : thay vào $\left( 3 \right)$ ta được: ${{x}^{2}}-5x+3=0$. Suy ra, không có cặp số nguyên $\left( x ; y \right)$ thỏa mãn.
$y=1$ : thay vào $\left( 3 \right)$ ta được: ${{x}^{2}}-4x=0\overset{x\in \mathbb{Z}}{\mathop{\Rightarrow }} x=0; 4$. Suy ra, có 2 cặp số nguyên $\left( x ; y \right)$ thỏa mãn.
$y=2$ : thay vào $\left( 3 \right)$ ta được: ${{x}^{2}}-3x-1=0$. Suy ra, không có cặp số nguyên $\left( x ; y \right)$ thỏa mãn.
$y=3$ : thay vào $\left( 3 \right)$ ta được: ${{x}^{2}}-2x=0\overset{x\in \mathbb{Z}}{\mathop{\Rightarrow }} x=0; 2$. Suy ra, có 2 cặp số nguyên $\left( x ; y \right)$ thỏa mãn.
Vậy có 6 cặp số nguyên $\left( x ; y \right)$ thỏa mãn.
Điều kiện: $5x+4y>0$
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( 10x+8y \right)+\left( 10x+8y \right)={{\log }_{2}}\left( 2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+2xy+6 \right)+\left( 2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+2xy+6 \right)$
$\Leftrightarrow f\left( 10x+8y \right)=f\left( 2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+2xy+6 \right)$, với $f\left( t \right)={{\log }_{2}}t+t$ là hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0 ; +\infty \right)$.
Suy ra, $\left( 1 \right)\Leftrightarrow 10x+8y=2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+2xy+6$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy-5x-4y+3=0 \left( 2 \right)$.
$\left( 2 \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}+\left( y-5 \right)x+\left( {{y}^{2}}-4y+3 \right)=0 \left( 3 \right)$
$\left( 3 \right)$ là phương trình ẩn $x$, có nghiệm khi ${{\Delta }_{x}}=-3{{y}^{2}}+6y+13\ge 0$ $\Leftrightarrow y\in \left[ \dfrac{3-4\sqrt{3}}{3} ; \dfrac{3+4\sqrt{3}}{3} \right]$.
Mà $y\in \mathbb{Z}$, suy ra: $y\in \left\{ -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 \right\}$.
$y=-1$ : thay vào $\left( 3 \right)$ ta được: ${{x}^{2}}-6x+8=0\overset{x\in \mathbb{Z}}{\mathop{\Rightarrow }} x=2; 4$. Suy ra, có 2 cặp số nguyên $\left( x ; y \right)$ thỏa mãn.
$y=0$ : thay vào $\left( 3 \right)$ ta được: ${{x}^{2}}-5x+3=0$. Suy ra, không có cặp số nguyên $\left( x ; y \right)$ thỏa mãn.
$y=1$ : thay vào $\left( 3 \right)$ ta được: ${{x}^{2}}-4x=0\overset{x\in \mathbb{Z}}{\mathop{\Rightarrow }} x=0; 4$. Suy ra, có 2 cặp số nguyên $\left( x ; y \right)$ thỏa mãn.
$y=2$ : thay vào $\left( 3 \right)$ ta được: ${{x}^{2}}-3x-1=0$. Suy ra, không có cặp số nguyên $\left( x ; y \right)$ thỏa mãn.
$y=3$ : thay vào $\left( 3 \right)$ ta được: ${{x}^{2}}-2x=0\overset{x\in \mathbb{Z}}{\mathop{\Rightarrow }} x=0; 2$. Suy ra, có 2 cặp số nguyên $\left( x ; y \right)$ thỏa mãn.
Vậy có 6 cặp số nguyên $\left( x ; y \right)$ thỏa mãn.
Đáp án D.