Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $(x,y)$ sao cho ứng với mổi giá...

${{\log }_{5}}\left( 3{{x}^{2}}+xy+36{{y}^{2}} \right)+{{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+12{{y}^{2}} \right)<{{\log }_{5}}(xy)+{{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+16xy+12{{y}^{2}} \right)+1$ $\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\dfrac{3{{x}^{2}}+xy+36{{y}^{2}}}{xy}<{{\log }_{3}}\dfrac{3{{x}^{2}}+48xy+36{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}+12{{y}^{2}}}$ $\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( 3\left( \dfrac{x}{y}+\dfrac{12y}{x} \right)+1 \right)<{{\log }_{3}}\left( 3+\dfrac{48}{\dfrac{x}{y}+12\dfrac{y}{x}} \right)$
Đặt $a=\dfrac{x}{y}+\dfrac{12y}{x}>0$. Ta được ${{\log }_{5}}(3a+1)-{{\log }_{3}}\left( 3+\dfrac{48}{a} \right)<0$.
Xét $f(a)={{\log }_{5}}(3a+1)-{{\log }_{3}}\left( 3+\dfrac{48}{a} \right),$ $a\in (0,+\infty ).$
$\Rightarrow {{f}^{\prime }}(a)=\dfrac{3}{(3a+1)\ln 5}+\dfrac{\dfrac{48}{{{a}^{2}}}}{\left( 3+\dfrac{48}{a} \right)\ln 3}>0,\forall a>0.$
$\Rightarrow f(a)$ đồng biến trên $(0+\infty )$
Mà $f(8)=0\Rightarrow f(a)<0\Leftrightarrow a<8$. Khi đó ta có
$\dfrac{x}{y}+12\dfrac{y}{x}<8\Leftrightarrow {{x}^{2}}+12{{y}^{2}}<8xy\Leftrightarrow {{x}^{2}}-8xy+12{{y}^{2}}<0\Leftrightarrow (x-2y)(x-6y)<0\Leftrightarrow $ $2y<x<6y.$
Để mỗi giá trị của $y$ có không quá 15 giá trị nguyên dương của $x$ thì điều kiện là $(6y-1)-(2y+1)+1\le 15\Leftrightarrow y\le 4,y\in {{N}^{*}}\Rightarrow 1\le y\le 4.$
Với $y=1\Rightarrow x\in \left( 2;6 \right)\Rightarrow $ có 3 cặp $\left( x;y \right).$
Với $y=2\Rightarrow x\in \left( 4;12 \right)\Rightarrow $ có 7 cặp $\left( x;y \right).$
Với $y=3\Rightarrow x\in \left( 6;18 \right)\Rightarrow $ có 11 cặp $\left( x;y \right).$
Với $y=4\Rightarrow x\in \left( 8;24 \right)\Rightarrow $ có 15 cặp $\left( x;y \right).$
Vậy có 36 cặp $\left( x;y \right)$ thỏa yêu cầu bài toán.