Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số nguyên dương $x$, sao cho ứng với mỗi giá trị của $x$ có đúng 11 số nguyên $y$ thỏa mãn bất phương trình $\left( {{2}^{y}}-{{x}^{2}} \right)\left( {{5}^{y}}-x-1 \right)\le 0$ ?
A. $55$.
B. $34$.
C. $130$.
D. $88$.
A. $55$.
B. $34$.
C. $130$.
D. $88$.
Đặt $\begin{matrix}
\left( {{2}^{y}}-{{x}^{2}} \right)\left( {{5}^{y}}-x-1 \right)\le 0 & \left( * \right) \\
\end{matrix}$
Xét phương trình $\left( {{2}^{y}}-{{x}^{2}} \right)\left( {{5}^{y}}-x-1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
y=2{{\log }_{2}}x \\
y={{\log }_{5}}\left( x+1 \right) \\
\end{matrix} \right.$
Với $x=1$ $\left( * \right)\Leftrightarrow 0\le y\le {{\log }_{5}}2$, không thỏa mãn.
Với $x\ge 2$ thì $2{{\log }_{2}}x>{{\log }_{5}}\left( x+1 \right)$, khi đó $\left( * \right)\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( x+1 \right)\le y\le 2{{\log }_{2}}x$
TH1: Với $x\in \left[ 2;24 \right]$, $\left\{ \begin{matrix}
{{\log }_{5}}3<{{\log }_{5}}\left( x+1 \right)\le 2 \\
2<2{{\log }_{2}}x<2{{\log }_{2}}24 \\
\end{matrix} \right.$
$\Rightarrow 2{{\log }_{2}}x-{{\log }_{5}}\left( x+1 \right)<10,\forall x\in \left[ 2;24 \right]$
Nên không tồn tại đủ 11 số nguyên thuộc $\left[ {{\log }_{5}}\left( x+1 \right);2{{\log }_{2}}x \right]$ $\Rightarrow $ Không thỏa mãn.
TH2: $\left\{ \begin{matrix}
2<{{\log }_{5}}\left( x+1 \right)\le 3 \\
13\le 2{{\log }_{2}}x<14 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
24<x\le 124 \\
{{2}^{\dfrac{13}{2}}}\le x<{{2}^{7}} \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow x\in \left\{ 91;92;...;124 \right\}$.
TH3: $\left\{ \begin{matrix}
3<{{\log }_{5}}\left( x+1 \right)\le 4 \\
14\le 2{{\log }_{2}}x<15 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
124<x\le 624 \\
{{2}^{7}}\le x<{{2}^{\dfrac{15}{2}}} \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow x\in \left\{ 128;129;...;181 \right\}$.
TH4: $\left\{ \begin{matrix}
n<{{\log }_{5}}\left( x+1 \right)\le n+1 \\
n+11\le 2{{\log }_{2}}x<n+12 \\
\end{matrix} \right.\left( n>4 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
{{5}^{n}}-1<x\le {{5}^{n+1}}-1 \\
{{2}^{\dfrac{n+11}{2}}}<x<{{8.2}^{\dfrac{n}{2}}} \\
\end{matrix} \right.\left( 1 \right)$
Do ${{5}^{n}}-1>{{2}^{n}}{{2}^{n}}>{{8.2}^{\dfrac{n}{2}}},\forall n>4$ nên $\left( 1 \right)\Leftrightarrow x\in \varnothing $ $\Rightarrow $ Không thỏa mãn.
Vậy $x\in \left\{ 91;92;...;124 \right\}\cup \left\{ 128;129;...;181 \right\}$.
\left( {{2}^{y}}-{{x}^{2}} \right)\left( {{5}^{y}}-x-1 \right)\le 0 & \left( * \right) \\
\end{matrix}$
Xét phương trình $\left( {{2}^{y}}-{{x}^{2}} \right)\left( {{5}^{y}}-x-1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
y=2{{\log }_{2}}x \\
y={{\log }_{5}}\left( x+1 \right) \\
\end{matrix} \right.$
Với $x=1$ $\left( * \right)\Leftrightarrow 0\le y\le {{\log }_{5}}2$, không thỏa mãn.
Với $x\ge 2$ thì $2{{\log }_{2}}x>{{\log }_{5}}\left( x+1 \right)$, khi đó $\left( * \right)\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( x+1 \right)\le y\le 2{{\log }_{2}}x$
TH1: Với $x\in \left[ 2;24 \right]$, $\left\{ \begin{matrix}
{{\log }_{5}}3<{{\log }_{5}}\left( x+1 \right)\le 2 \\
2<2{{\log }_{2}}x<2{{\log }_{2}}24 \\
\end{matrix} \right.$
$\Rightarrow 2{{\log }_{2}}x-{{\log }_{5}}\left( x+1 \right)<10,\forall x\in \left[ 2;24 \right]$
Nên không tồn tại đủ 11 số nguyên thuộc $\left[ {{\log }_{5}}\left( x+1 \right);2{{\log }_{2}}x \right]$ $\Rightarrow $ Không thỏa mãn.
TH2: $\left\{ \begin{matrix}
2<{{\log }_{5}}\left( x+1 \right)\le 3 \\
13\le 2{{\log }_{2}}x<14 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
24<x\le 124 \\
{{2}^{\dfrac{13}{2}}}\le x<{{2}^{7}} \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow x\in \left\{ 91;92;...;124 \right\}$.
TH3: $\left\{ \begin{matrix}
3<{{\log }_{5}}\left( x+1 \right)\le 4 \\
14\le 2{{\log }_{2}}x<15 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
124<x\le 624 \\
{{2}^{7}}\le x<{{2}^{\dfrac{15}{2}}} \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow x\in \left\{ 128;129;...;181 \right\}$.
TH4: $\left\{ \begin{matrix}
n<{{\log }_{5}}\left( x+1 \right)\le n+1 \\
n+11\le 2{{\log }_{2}}x<n+12 \\
\end{matrix} \right.\left( n>4 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
{{5}^{n}}-1<x\le {{5}^{n+1}}-1 \\
{{2}^{\dfrac{n+11}{2}}}<x<{{8.2}^{\dfrac{n}{2}}} \\
\end{matrix} \right.\left( 1 \right)$
Do ${{5}^{n}}-1>{{2}^{n}}{{2}^{n}}>{{8.2}^{\dfrac{n}{2}}},\forall n>4$ nên $\left( 1 \right)\Leftrightarrow x\in \varnothing $ $\Rightarrow $ Không thỏa mãn.
Vậy $x\in \left\{ 91;92;...;124 \right\}\cup \left\{ 128;129;...;181 \right\}$.
Đáp án D.