Google
Câu hỏi: Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left| z+\bar{z} \right|\le 2$ và $\left| z-\bar{z} \right|\le 2$. Gọi $M$, $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $T=\left| z-2i \right|$. Tổng $M+n$ bằng
A. $1+\sqrt{10}$.
B. $\sqrt{2}+\sqrt{10}$.
C. $4$.
D. $1$.
A. $1+\sqrt{10}$.
B. $\sqrt{2}+\sqrt{10}$.
C. $4$.
D. $1$.
Gọi $z=x+yi$, $x,y\in \mathbb{R}$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \left| 2x \right|\le 2 \\
& \left| 2yi \right|\le 2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left| x \right|\le 1 \\
& \left| y \right|\le 1 \\
\end{aligned} \right.$.
Gọi $M\left( x;y \right)$ là điểm biểu diễn số phức $z$ trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$. Khi đó tập hợp các điểm $M$ là hình vuông $ABCD$ (hình vẽ).
Điểm $N\left( 0;-2 \right)$ biểu diễn số phức, khi đó $T=\left| z-2i \right|=MN$.
Dựa vào hình vẽ ta có $MN\ge d\left( M,AB \right)=1$ nên $m=\min T=1$, $MN\le NC=\sqrt{10}$ nên $M=\max T=\sqrt{10}$, do đó $M+m=1+\sqrt{10}$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \left| 2x \right|\le 2 \\
& \left| 2yi \right|\le 2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left| x \right|\le 1 \\
& \left| y \right|\le 1 \\
\end{aligned} \right.$.
Gọi $M\left( x;y \right)$ là điểm biểu diễn số phức $z$ trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$. Khi đó tập hợp các điểm $M$ là hình vuông $ABCD$ (hình vẽ).
Dựa vào hình vẽ ta có $MN\ge d\left( M,AB \right)=1$ nên $m=\min T=1$, $MN\le NC=\sqrt{10}$ nên $M=\max T=\sqrt{10}$, do đó $M+m=1+\sqrt{10}$.
Đáp án A.