Google
Câu hỏi: Cho mặt cầu $S\left( O;9 \right)$. Một hình nón có đỉnh và đường tròn đáy nằm trên mặt cầu S. khi thể tích của hình nón lớn nhất, diện tích đường tròn đáy của hình nón thuộc khoảng nào dưới đấy?
A. $\left[ 200;220 \right]$.
B. $\left( 230;240 \right)$.
C. $\left( 200;220 \right)$.
D. $\left[ 220;230 \right]$.
Gọi khoảng cách từ tâm của khối cầu đến đáy của hình nón là x. $\left( 0<x<9 \right)$.
Khi đó, chiều cao của khối nón $h=x+9$ và bán kính của khối nón $r=\sqrt{{{9}^{2}}-{{x}^{2}}}\Rightarrow {{r}^{2}}=81-{{x}^{2}}$
Thể tích khối nón là: $V=\dfrac{1}{3}S.h=\dfrac{1}{3}\pi \left( 81-{{x}^{2}} \right)\left( x+9 \right)=\dfrac{1}{3}\pi {{\left( x+9 \right)}^{2}}\left( 9-x \right)$
Xét hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{1}{3}\pi {{\left( x+9 \right)}^{2}}.\left( 9-x \right)\Rightarrow {f}'\left( x \right)=\dfrac{1}{3}\pi \left( -3{{x}^{2}}-18x+81 \right)=0\Leftrightarrow x=3$
Bảng biến thiên:
Vậy ${{V}_{\max }}\Leftrightarrow x=3$. Khi đó diện tích đáy là: $S=\pi \left( {{9}^{2}}-{{3}^{2}} \right)=72\pi \in \left[ 220;230 \right]$.
A. $\left[ 200;220 \right]$.
B. $\left( 230;240 \right)$.
C. $\left( 200;220 \right)$.
D. $\left[ 220;230 \right]$.
Khi đó, chiều cao của khối nón $h=x+9$ và bán kính của khối nón $r=\sqrt{{{9}^{2}}-{{x}^{2}}}\Rightarrow {{r}^{2}}=81-{{x}^{2}}$
Thể tích khối nón là: $V=\dfrac{1}{3}S.h=\dfrac{1}{3}\pi \left( 81-{{x}^{2}} \right)\left( x+9 \right)=\dfrac{1}{3}\pi {{\left( x+9 \right)}^{2}}\left( 9-x \right)$
Xét hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{1}{3}\pi {{\left( x+9 \right)}^{2}}.\left( 9-x \right)\Rightarrow {f}'\left( x \right)=\dfrac{1}{3}\pi \left( -3{{x}^{2}}-18x+81 \right)=0\Leftrightarrow x=3$
Bảng biến thiên:
Đáp án D.
