Google
Câu hỏi: Cho hình nón đỉnh $S$, đường tròn đáy tâm $O$ và góc ở đỉnh bằng $120{}^\circ $. Một mặt phẳng đi qua $S$ cắt hình nón theo thiết diện là tam giác $SAB$. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SO$ bằng $3$, diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng $18\pi \sqrt{3}$. Tính diện tích tam giác $SAB$.
A. $21.$
B. $27.$
C. $12.$
D. $18.$
+ Gọi $H$ là trung điểm $AB$, $\Delta SAB$ cân tại $S\left( SA=SB=l \right)$ nên $OH\bot AB$.
Mà $SO$ vuông góc với đáy $\Rightarrow SO\bot OH$
$\Rightarrow OH$ là đoạn vuông góc chung của $AB$ và $SO$ nên $d\left( SO,AB \right)=OH=3$.
+ Gọi bán kính của đường tròn đáy hình nón là $r$ $\Rightarrow r=OB$.
Vì góc đỉnh hình nón bằng $120{}^\circ \Rightarrow \widehat{OSB}=60{}^\circ \Rightarrow \sin \widehat{OSB}=\dfrac{OB}{SB}$
$\Rightarrow SB=\dfrac{r}{\sin 60{}^\circ }=\dfrac{r}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{2r\sqrt{3}}{3}$.
Diện tích xung quanh của hình nón ${{S}_{xq}}=\pi rl=\pi r.\dfrac{2r\sqrt{3}}{3}=\dfrac{2\pi {{r}^{2}}\sqrt{3}}{3}$.
Theo giả thiết ${{S}_{xq}}=\dfrac{2\pi {{r}^{2}}\sqrt{3}}{3}$ $=18\pi \sqrt{3}\Rightarrow {{r}^{2}}=27\Rightarrow r=3\sqrt{3}$.
+ Xét $\Delta OHB$ vuông tại $H:H{{B}^{2}}=O{{B}^{2}}-O{{H}^{2}}={{r}^{2}}-{{3}^{2}}={{\left( 3\sqrt{3} \right)}^{2}}-{{3}^{2}}=18.$
$\Rightarrow HB=3\sqrt{2}\Rightarrow AB=6\sqrt{2}$.
Ta có: $SB=\dfrac{2r\sqrt{3}}{3}=6$.
$\Rightarrow $ $\Delta SAB$ vuông cân tại $S\left( SA=SB,S{{A}^{2}}+S{{B}^{2}}=72=A{{B}^{2}} \right)$
Vậy diện tích tam giác $SAB$ bằng ${{S}_{\Delta SAB}}=\dfrac{1}{2}SA.SB=\dfrac{1}{2}.6.6=18$.
A. $21.$
B. $27.$
C. $12.$
D. $18.$
Mà $SO$ vuông góc với đáy $\Rightarrow SO\bot OH$
$\Rightarrow OH$ là đoạn vuông góc chung của $AB$ và $SO$ nên $d\left( SO,AB \right)=OH=3$.
+ Gọi bán kính của đường tròn đáy hình nón là $r$ $\Rightarrow r=OB$.
Vì góc đỉnh hình nón bằng $120{}^\circ \Rightarrow \widehat{OSB}=60{}^\circ \Rightarrow \sin \widehat{OSB}=\dfrac{OB}{SB}$
$\Rightarrow SB=\dfrac{r}{\sin 60{}^\circ }=\dfrac{r}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{2r\sqrt{3}}{3}$.
Diện tích xung quanh của hình nón ${{S}_{xq}}=\pi rl=\pi r.\dfrac{2r\sqrt{3}}{3}=\dfrac{2\pi {{r}^{2}}\sqrt{3}}{3}$.
Theo giả thiết ${{S}_{xq}}=\dfrac{2\pi {{r}^{2}}\sqrt{3}}{3}$ $=18\pi \sqrt{3}\Rightarrow {{r}^{2}}=27\Rightarrow r=3\sqrt{3}$.
+ Xét $\Delta OHB$ vuông tại $H:H{{B}^{2}}=O{{B}^{2}}-O{{H}^{2}}={{r}^{2}}-{{3}^{2}}={{\left( 3\sqrt{3} \right)}^{2}}-{{3}^{2}}=18.$
$\Rightarrow HB=3\sqrt{2}\Rightarrow AB=6\sqrt{2}$.
Ta có: $SB=\dfrac{2r\sqrt{3}}{3}=6$.
$\Rightarrow $ $\Delta SAB$ vuông cân tại $S\left( SA=SB,S{{A}^{2}}+S{{B}^{2}}=72=A{{B}^{2}} \right)$
Vậy diện tích tam giác $SAB$ bằng ${{S}_{\Delta SAB}}=\dfrac{1}{2}SA.SB=\dfrac{1}{2}.6.6=18$.
Đáp án D.
