Google
Câu hỏi: Cho hình nón đỉnh $S,$ đáy là hình tròn tâm $O,$ góc ở đỉnh của hình nón là $\varphi =120{}^\circ .$ Cắt hình nón bởi mặt phẳng đi qua đỉnh $S$ được thiết diện là tam giác vuông $SAB,$ trong đó $A,B$ thuộc đường tròn đáy. Biết rằng khoảng cách giữa $SO$ và $AB$ bằng $3.$ Diện tích xung quanh của hình nón bằng
A. $\text{36}\sqrt{3}\pi .$
B. $\text{18}\sqrt{3}\pi .$
C. $\text{27}\sqrt{3}\pi .$
D. $\text{9}\sqrt{3}\pi .$
Kẻ $OH\bot AB\Rightarrow d\left( AB;SO \right)=OH=3$.
Tam giác $SAB$ vuông cân tại $S$. Gọi $r$ là bán kính đường tròn đáy của hình nón.
Đường sinh $l=SB=\dfrac{OB}{\sin \widehat{OSB}}=\dfrac{r}{\sin 60{}^\circ }=\dfrac{2r\sqrt{3}}{3}\Rightarrow BH=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{SB\sqrt{2}}{2}=\dfrac{r\sqrt{6}}{3}$.
Xét tam giác $OBH$ vuông tại $H$.
Ta có: $O{{H}^{2}}+B{{H}^{2}}=O{{B}^{2}}\Leftrightarrow 9+\dfrac{6{{r}^{2}}}{9}={{r}^{2}}\Leftrightarrow r=3\sqrt{3}\Rightarrow l=\dfrac{2r\sqrt{3}}{3}=6$.
Diện tích xung quanh ${{S}_{xq}}$ của hình nón là: ${{S}_{xq}}=\pi rl=\pi .3\sqrt{3}.6=18\pi \sqrt{3}\text{. }$
A. $\text{36}\sqrt{3}\pi .$
B. $\text{18}\sqrt{3}\pi .$
C. $\text{27}\sqrt{3}\pi .$
D. $\text{9}\sqrt{3}\pi .$
Tam giác $SAB$ vuông cân tại $S$. Gọi $r$ là bán kính đường tròn đáy của hình nón.
Đường sinh $l=SB=\dfrac{OB}{\sin \widehat{OSB}}=\dfrac{r}{\sin 60{}^\circ }=\dfrac{2r\sqrt{3}}{3}\Rightarrow BH=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{SB\sqrt{2}}{2}=\dfrac{r\sqrt{6}}{3}$.
Xét tam giác $OBH$ vuông tại $H$.
Ta có: $O{{H}^{2}}+B{{H}^{2}}=O{{B}^{2}}\Leftrightarrow 9+\dfrac{6{{r}^{2}}}{9}={{r}^{2}}\Leftrightarrow r=3\sqrt{3}\Rightarrow l=\dfrac{2r\sqrt{3}}{3}=6$.
Diện tích xung quanh ${{S}_{xq}}$ của hình nón là: ${{S}_{xq}}=\pi rl=\pi .3\sqrt{3}.6=18\pi \sqrt{3}\text{. }$
Đáp án B.
