Google
Câu hỏi: Hình nón $(N)$ có đỉnh $S$, tâm đường tròn đáy là $O$, góc ở đỉnh bằng $120^{\circ}$. Một mặt phẳng qua $S$ cắt hình nón $(N)$ theo thiết diện là tam giác vuông $S A B$. Biết rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng $A B$ và $S O$ bằng 3 . Tính diện tích xung quanh $S_{x q}$ của hình nón $(N)$
A. $S_{x q}=18 \sqrt{3} \pi$.
B. $S_{x q}=9 \sqrt{3} \pi$.
C. $S_{x q}=36 \sqrt{3} \pi$.
D. $S_{x q}=27 \sqrt{3} \pi$.
Gọi $I$ là trung điểm của $A B$. Ta có $\left\{\begin{array}{l}O I \perp A B \\ O I \perp S O\end{array} \Rightarrow d(S O ; A B)=O I=3\right.$
Theo bài ra ta có tam giác $S A B$ vuông tại $S$ và $O I=3$ ; và $\widehat{B S O}=60^{\circ}$.
Gọi $r$ là bán kính đường tròn đáy của hình nón thì đường $\sinh l=S B=\dfrac{r}{\sin 60^{\circ}} \Rightarrow l=\dfrac{2 r}{\sqrt{3}}$.
Suy ra $B I=\dfrac{1}{2} A B=\dfrac{1}{2} l \sqrt{2}=\dfrac{1}{2} \dfrac{2 r \sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\dfrac{r \sqrt{6}}{3}$.
Xét tam giác $O B I$ vuông tại $I$, ta có $9+\dfrac{6 r^2}{9}=r^2 \Leftrightarrow r=3 \sqrt{3}$.
Diện tích xung quanh $S_{x q}$ của hình nón $(N)$ là $S_{x q}=\pi \cdot r \cdot l=\pi \cdot 3 \sqrt{3} \cdot \dfrac{6 \sqrt{3}}{\sqrt{3}}=18 \pi \sqrt{3}$.
A. $S_{x q}=18 \sqrt{3} \pi$.
B. $S_{x q}=9 \sqrt{3} \pi$.
C. $S_{x q}=36 \sqrt{3} \pi$.
D. $S_{x q}=27 \sqrt{3} \pi$.
Theo bài ra ta có tam giác $S A B$ vuông tại $S$ và $O I=3$ ; và $\widehat{B S O}=60^{\circ}$.
Gọi $r$ là bán kính đường tròn đáy của hình nón thì đường $\sinh l=S B=\dfrac{r}{\sin 60^{\circ}} \Rightarrow l=\dfrac{2 r}{\sqrt{3}}$.
Suy ra $B I=\dfrac{1}{2} A B=\dfrac{1}{2} l \sqrt{2}=\dfrac{1}{2} \dfrac{2 r \sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\dfrac{r \sqrt{6}}{3}$.
Xét tam giác $O B I$ vuông tại $I$, ta có $9+\dfrac{6 r^2}{9}=r^2 \Leftrightarrow r=3 \sqrt{3}$.
Diện tích xung quanh $S_{x q}$ của hình nón $(N)$ là $S_{x q}=\pi \cdot r \cdot l=\pi \cdot 3 \sqrt{3} \cdot \dfrac{6 \sqrt{3}}{\sqrt{3}}=18 \pi \sqrt{3}$.
Đáp án A.
