Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$, cạnh $AB=a\sqrt{2}$. Góc giữa mặt phẳng $\left( AB'C \right)$ và mặt phẳng $\left( BCC'B' \right)$ bằng ${{60}^{0}}$. Thể tích khối tứ diện $AB'C'C$ bằng
A. $\dfrac{2\sqrt{2}{{a}^{3}}}{3}$.
B. $\sqrt{2}{{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{6}$.
D. $\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{3}$.
Gọi $I$ trung điểm $BC$ ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& AI\bot BC \\
& AI\bot BB' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AI\bot \left( BCC'B' \right)$
Dựng $IK\bot BC'\Rightarrow AK\bot BC'$ do đó góc giữa mặt phẳng $\left( AB'C \right)$ và mặt phẳng $\left( BCC'B' \right)$
là góc $\overset\frown{AKI}$ $\Rightarrow \overset\frown{AKI}={{60}^{0}}$
Ta có: $BC=2a$, $AI=a, BI=a$, $IK=\dfrac{AI}{\tan {{60}^{0}}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$, $KB=\sqrt{I{{B}^{2}}-I{{K}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$
Lại có: $\vartriangle KBI\sim \vartriangle CBC'\Rightarrow \dfrac{IK}{CC'}=\dfrac{KB}{CB}\Rightarrow CC'=\dfrac{IK.CB}{KB}=a\sqrt{2}$
Khi đó: ${{S}_{\vartriangle B'CC'}}=\dfrac{1}{2}BB'.CC'=\dfrac{1}{2}a\sqrt{2}.2a={{a}^{2}}\sqrt{2}$
Thể tích khối tứ diện $AB'C'C$ bằng: $V=\dfrac{1}{3}.{{S}_{\vartriangle B'CC'}}.AI=\dfrac{1}{3}.{{a}^{2}}\sqrt{2}.a=\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{3}$
A. $\dfrac{2\sqrt{2}{{a}^{3}}}{3}$.
B. $\sqrt{2}{{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{6}$.
D. $\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{3}$.
& AI\bot BC \\
& AI\bot BB' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AI\bot \left( BCC'B' \right)$
Dựng $IK\bot BC'\Rightarrow AK\bot BC'$ do đó góc giữa mặt phẳng $\left( AB'C \right)$ và mặt phẳng $\left( BCC'B' \right)$
là góc $\overset\frown{AKI}$ $\Rightarrow \overset\frown{AKI}={{60}^{0}}$
Ta có: $BC=2a$, $AI=a, BI=a$, $IK=\dfrac{AI}{\tan {{60}^{0}}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$, $KB=\sqrt{I{{B}^{2}}-I{{K}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$
Lại có: $\vartriangle KBI\sim \vartriangle CBC'\Rightarrow \dfrac{IK}{CC'}=\dfrac{KB}{CB}\Rightarrow CC'=\dfrac{IK.CB}{KB}=a\sqrt{2}$
Khi đó: ${{S}_{\vartriangle B'CC'}}=\dfrac{1}{2}BB'.CC'=\dfrac{1}{2}a\sqrt{2}.2a={{a}^{2}}\sqrt{2}$
Thể tích khối tứ diện $AB'C'C$ bằng: $V=\dfrac{1}{3}.{{S}_{\vartriangle B'CC'}}.AI=\dfrac{1}{3}.{{a}^{2}}\sqrt{2}.a=\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{3}$
Đáp án D.