Google
Câu hỏi: Cho khối lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$, $AA'=a$. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng $A'B$ và $B'C'$ bằng $\dfrac{\sqrt{6}}{3}a$. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
A. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}{{a}^{3}}$.
B. ${{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$.
D. $\dfrac{\sqrt{2}}{6}{{a}^{3}}$.
+ Trong mặt phẳng $\left( ABB'A' \right)$ kẻ $B'H$ vuông góc với $A'B$ tại $H$.
Ta có, $B'H\bot A'B$ và $\left\{ \begin{aligned}
& B'C'\bot A'B' \\
& B'C'\bot BB' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow B'C'\bot \left( ABB'A' \right)\Rightarrow B'H\bot B'C' $. Do đó $ B'H $ là khoảng cách giữa hai đường thẳng $ A'B $ và $ B'C'$.
+ Xét tam giác $A'B'B$ vuông tại $B'$ có $\dfrac{1}{B'{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{B'{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{A'B{{'}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{{{\left( \dfrac{\sqrt{6}}{3}a \right)}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{A'B{{'}^{2}}}$
Suy ra $A'B'=\sqrt{2}a$.
Vậy thể tích khối lăng trụ đã cho là $V={{S}_{A'B'C'}}.BB'=\dfrac{1}{2}\sqrt{2}a.\sqrt{2}a.a={{a}^{3}}$.
A. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}{{a}^{3}}$.
B. ${{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$.
D. $\dfrac{\sqrt{2}}{6}{{a}^{3}}$.
Ta có, $B'H\bot A'B$ và $\left\{ \begin{aligned}
& B'C'\bot A'B' \\
& B'C'\bot BB' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow B'C'\bot \left( ABB'A' \right)\Rightarrow B'H\bot B'C' $. Do đó $ B'H $ là khoảng cách giữa hai đường thẳng $ A'B $ và $ B'C'$.
+ Xét tam giác $A'B'B$ vuông tại $B'$ có $\dfrac{1}{B'{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{B'{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{A'B{{'}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{{{\left( \dfrac{\sqrt{6}}{3}a \right)}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{A'B{{'}^{2}}}$
Suy ra $A'B'=\sqrt{2}a$.
Vậy thể tích khối lăng trụ đã cho là $V={{S}_{A'B'C'}}.BB'=\dfrac{1}{2}\sqrt{2}a.\sqrt{2}a.a={{a}^{3}}$.
Đáp án B.