Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác vuông tại $A,AB=a\sqrt{3},BC=2a$, đường thẳng $AC'$ tạo với mặt phẳng $\left( BCC'B' \right)$ một góc bằng ${{30}^{0}}$. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho là
A. $7\pi {{a}^{2}}$.
B. $\pi {{a}^{2}}$.
C. $3\pi {{a}^{2}}$.
D. $6\pi {{a}^{2}}$.
Kẻ đường cao $AH$ của tam giác $ABC\Rightarrow AH\bot BC$.
$\Rightarrow \left( AC'\left( BCC'B' \right) \right)=\left( AC',HC' \right)=\widehat{AC'H}={{30}^{0}}$.
$\Rightarrow AC'=\dfrac{HA}{\sin {{30}^{0}}}=\sqrt{3}a\Rightarrow CC'=\sqrt{2}a$.
Gọi $O,O'$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ và $A'B'C'$.
$\Rightarrow $ tâm $I$ của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ là trung điểm của $OO'$.
Bán kính $\Rightarrow R=\sqrt{O{{I}^{2}}+O{{B}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{CC'}{2} \right)}^{2}}+O{{B}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{6}a}{2}$
Diện tích mặt cầu $S=4\pi {{R}^{2}}=6\pi {{a}^{2}}$.
A. $7\pi {{a}^{2}}$.
B. $\pi {{a}^{2}}$.
C. $3\pi {{a}^{2}}$.
D. $6\pi {{a}^{2}}$.
$\Rightarrow \left( AC'\left( BCC'B' \right) \right)=\left( AC',HC' \right)=\widehat{AC'H}={{30}^{0}}$.
$\Rightarrow AC'=\dfrac{HA}{\sin {{30}^{0}}}=\sqrt{3}a\Rightarrow CC'=\sqrt{2}a$.
Gọi $O,O'$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ và $A'B'C'$.
$\Rightarrow $ tâm $I$ của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ là trung điểm của $OO'$.
Bán kính $\Rightarrow R=\sqrt{O{{I}^{2}}+O{{B}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{CC'}{2} \right)}^{2}}+O{{B}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{6}a}{2}$
Diện tích mặt cầu $S=4\pi {{R}^{2}}=6\pi {{a}^{2}}$.
Đáp án D.
