Google
Câu hỏi: Cho khối lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có tam giác $ABC$ vuông cân tại C, $BC=a\sqrt{2}$ và gọi M là trung điểm của đoạn thẳng $A'B'$. Biết khoảng cách từ $A'$ đến mặt phẳng $\left( AC'M \right)$ bằng $\dfrac{2\sqrt{2}}{3}a$. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.
A. $4\sqrt{2}{{a}^{3}}$
B. $\sqrt{2}{{a}^{3}}$
C. $2\sqrt{2}{{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{2\sqrt{6}}{3}{{a}^{3}}$
Ta có ${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}B{{C}^{2}}={{a}^{2}} ;AB=A'B'=BC.\sqrt{2}=2a; A'M=a$
Kẻ $A'H\bot AM $. Có $C'M\bot \left( A'AM \right)\Rightarrow C'M\bot A'H$.
Từ đó suy ra $A'H\bot \left( AMC' \right)\Rightarrow d\left( A';\left( AC'M \right) \right)=A'H=\dfrac{2\sqrt{2}a}{3}$
Xét tam giác $A'AM$ có $\dfrac{1}{A'{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A'{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{M}^{2}}}\Rightarrow A'A=2a\sqrt{2}$
Vậy ${{V}_{ABC.A'B'C'}}=A'A. {{S}_{ABC}}=2\sqrt{2}{{a}^{3}}$.
A. $4\sqrt{2}{{a}^{3}}$
B. $\sqrt{2}{{a}^{3}}$
C. $2\sqrt{2}{{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{2\sqrt{6}}{3}{{a}^{3}}$
Kẻ $A'H\bot AM $. Có $C'M\bot \left( A'AM \right)\Rightarrow C'M\bot A'H$.
Từ đó suy ra $A'H\bot \left( AMC' \right)\Rightarrow d\left( A';\left( AC'M \right) \right)=A'H=\dfrac{2\sqrt{2}a}{3}$
Xét tam giác $A'AM$ có $\dfrac{1}{A'{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A'{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{M}^{2}}}\Rightarrow A'A=2a\sqrt{2}$
Vậy ${{V}_{ABC.A'B'C'}}=A'A. {{S}_{ABC}}=2\sqrt{2}{{a}^{3}}$.
Đáp án C.
