Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác cân tại $C$, cạnh đáy $AB$ bằng $2a$ và $\widehat{ABC}$ bằng $30{}^\circ $. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $CB'$ bằng $\dfrac{a}{2}$. Khi đó thể tích của khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ là
A. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{9}$.
B. $\dfrac{2\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}$.
C. $\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}$.
Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $A'B'$. Kẻ $MH\bot CN (H\in CN).$
Tam giác $CAB$ cân tại $C$ suy ra $AB\bot CM$.
Mặt khác $AB\bot C{C}'$ $\Rightarrow AB\bot (CMNC')\Rightarrow A'B'\bot (CMNC')$ $\Rightarrow A'B'\bot MH$
Như vậy $\left\{ \begin{aligned}
& MH\bot CN \\
& MH\bot A'B' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow MH\bot (CA'B').$
Ta có: $AB \text{//} (C{A}'{B}')\Rightarrow d(AB,C{B}')=d\left( AB,(C{A}'{B}') \right)=d(M,(C{A}'{B}')=MH.$
Tam giác $BMC$ vuông tại $M$, suy ra $CM=BM.\tan {{30}^{0}}=\dfrac{a}{\sqrt{3}}$
Tam giác $CMN$ vuông tại $M$, có $MH$ là đường cao
$\Rightarrow \dfrac{1}{M{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{M{{C}^{2}}}+\dfrac{1}{M{{N}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{4}{{{a}^{2}}}=\dfrac{3}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{M{{N}^{2}}}\Leftrightarrow MN=a$
Từ đó ${{V}_{ABC.A'B'C'}}={{S}_{ABC}}.MN=\dfrac{1}{2}.2a.\dfrac{a}{\sqrt{3}}.a=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}.$
A. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{9}$.
B. $\dfrac{2\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}$.
C. $\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}$.
Tam giác $CAB$ cân tại $C$ suy ra $AB\bot CM$.
Mặt khác $AB\bot C{C}'$ $\Rightarrow AB\bot (CMNC')\Rightarrow A'B'\bot (CMNC')$ $\Rightarrow A'B'\bot MH$
Như vậy $\left\{ \begin{aligned}
& MH\bot CN \\
& MH\bot A'B' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow MH\bot (CA'B').$
Ta có: $AB \text{//} (C{A}'{B}')\Rightarrow d(AB,C{B}')=d\left( AB,(C{A}'{B}') \right)=d(M,(C{A}'{B}')=MH.$
Tam giác $BMC$ vuông tại $M$, suy ra $CM=BM.\tan {{30}^{0}}=\dfrac{a}{\sqrt{3}}$
Tam giác $CMN$ vuông tại $M$, có $MH$ là đường cao
$\Rightarrow \dfrac{1}{M{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{M{{C}^{2}}}+\dfrac{1}{M{{N}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{4}{{{a}^{2}}}=\dfrac{3}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{M{{N}^{2}}}\Leftrightarrow MN=a$
Từ đó ${{V}_{ABC.A'B'C'}}={{S}_{ABC}}.MN=\dfrac{1}{2}.2a.\dfrac{a}{\sqrt{3}}.a=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}.$
Đáp án D.
