Google
Câu hỏi: Cho khối lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$, $ABC$. Góc giữa đường thẳng $BC'$ và mặt phẳng $\left( ACC'A' \right)$ bằng ${{30}^{0}}$. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng?
A. ${{a}^{3}}$.
B. $3{{a}^{3}}$.
C. $12\sqrt{2}{{a}^{3}}$.
D. $4\sqrt{2}{{a}^{3}}$.
Ta có:$\begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& AB\bot AC \\
& AB\bot AA' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( ACC'A' \right);BC'\cap \left( ACC'A' \right)=\left\{ C' \right\} \\
& \Rightarrow \left( BC & ',\left( ACC'A' \right) \right)=\left( BC',C'A \right)=\widehat{AC'B}={{30}^{0}} \\
\end{aligned} $ $ \Rightarrow \widehat{BAC}=60{}^\circ $.
Xét $\Delta ABC'$ vuông tại $A$ ta có:
$\begin{aligned}
& AC'=AB.\cot \widehat{AC'B}=2a.\tan {{30}^{0}}=2a\sqrt{3} \\
& \Rightarrow CC'=\sqrt{C'{{A}^{2}}-A{{C}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 2a\sqrt{3} \right)}^{2}}-{{\left( 2a \right)}^{2}}}=2a\sqrt{2}. \\
& \Rightarrow {{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}.AB.AC=\dfrac{1}{2}.2a.2a=2{{a}^{2}} \\
& \Rightarrow {{V}_{ABC.A'B'C'}}={{S}_{\Delta ABC}}.CC'=2{{a}^{2}}.2a\sqrt{2}=4{{a}^{3}}\sqrt{2} \\
\end{aligned}$
A. ${{a}^{3}}$.
B. $3{{a}^{3}}$.
C. $12\sqrt{2}{{a}^{3}}$.
D. $4\sqrt{2}{{a}^{3}}$.
& \left\{ \begin{aligned}
& AB\bot AC \\
& AB\bot AA' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( ACC'A' \right);BC'\cap \left( ACC'A' \right)=\left\{ C' \right\} \\
& \Rightarrow \left( BC & ',\left( ACC'A' \right) \right)=\left( BC',C'A \right)=\widehat{AC'B}={{30}^{0}} \\
\end{aligned} $ $ \Rightarrow \widehat{BAC}=60{}^\circ $.
Xét $\Delta ABC'$ vuông tại $A$ ta có:
$\begin{aligned}
& AC'=AB.\cot \widehat{AC'B}=2a.\tan {{30}^{0}}=2a\sqrt{3} \\
& \Rightarrow CC'=\sqrt{C'{{A}^{2}}-A{{C}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 2a\sqrt{3} \right)}^{2}}-{{\left( 2a \right)}^{2}}}=2a\sqrt{2}. \\
& \Rightarrow {{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}.AB.AC=\dfrac{1}{2}.2a.2a=2{{a}^{2}} \\
& \Rightarrow {{V}_{ABC.A'B'C'}}={{S}_{\Delta ABC}}.CC'=2{{a}^{2}}.2a\sqrt{2}=4{{a}^{3}}\sqrt{2} \\
\end{aligned}$
Đáp án D.