Google
Câu hỏi: Cho khối trụ $(H)$. Cắt khối trụ $(H)$ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng $\sqrt{2}(\mathrm{~cm})$ ta được thiết diện là hình chữ nhật $A B C D$ có diện tích bằng $20\left(\mathrm{~cm}^2\right)$, hai cạnh $A B$ và $C D$ lần lượt nằm trên hai đáy của khối trụ. Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi $A C$ và mặt đáy của khối trụ, biết $\tan \alpha=2$. Tính thể tích khối trụ $(H)$.
A. $2 \sqrt{3} \pi\left(\mathrm{cm}^3\right)$.
B. $9 \sqrt{5} \pi\left(\mathrm{cm}^3\right)$.
C. $5 \sqrt{2} \pi\left(\mathrm{cm}^3\right)$.
D. $9 \sqrt{10} \pi\left(\mathrm{cm}^3\right)$.
A. $2 \sqrt{3} \pi\left(\mathrm{cm}^3\right)$.
B. $9 \sqrt{5} \pi\left(\mathrm{cm}^3\right)$.
C. $5 \sqrt{2} \pi\left(\mathrm{cm}^3\right)$.
D. $9 \sqrt{10} \pi\left(\mathrm{cm}^3\right)$.
Gọi $O$ và $O^{\prime}$ là tâm của hai đáy khối trụ.
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ lên $A B$, ta có $O H=\sqrt{2}(\mathrm{~cm})$.
Góc giữa đường thẳng $A C$ và mặt đáy là $\alpha=\widehat{A C D} \Rightarrow \tan \alpha=\dfrac{A D}{D C}=\dfrac{B C}{A B}=2 \Rightarrow B C=2 A B$.
Ta có $S_{A B C D}=A B \cdot B C=20\left(\mathrm{~cm}^2\right) \Rightarrow 2 \cdot A B^2=20 \Leftrightarrow A B=\sqrt{10}(\mathrm{~cm}) \Rightarrow B C=2 \sqrt{10}(\mathrm{~cm})$.
Xét tam giác vuông $O H A$ có: $R=O A=\sqrt{O H^2+A H^2}=\sqrt{O H^2+\dfrac{A B^2}{4}}=\sqrt{2+\dfrac{10}{4}}=\dfrac{3 \sqrt{2}}{2}(\mathrm{~cm})$.
Thể tích của khối trụ $(H)$ là: $V=\pi R^2 h=\pi \cdot\left(\dfrac{3 \sqrt{2}}{2}\right)^2 \cdot 2 \sqrt{10}=9 \sqrt{10} \pi\left(\mathrm{cm}^3\right)$
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ lên $A B$, ta có $O H=\sqrt{2}(\mathrm{~cm})$.
Ta có $S_{A B C D}=A B \cdot B C=20\left(\mathrm{~cm}^2\right) \Rightarrow 2 \cdot A B^2=20 \Leftrightarrow A B=\sqrt{10}(\mathrm{~cm}) \Rightarrow B C=2 \sqrt{10}(\mathrm{~cm})$.
Xét tam giác vuông $O H A$ có: $R=O A=\sqrt{O H^2+A H^2}=\sqrt{O H^2+\dfrac{A B^2}{4}}=\sqrt{2+\dfrac{10}{4}}=\dfrac{3 \sqrt{2}}{2}(\mathrm{~cm})$.
Thể tích của khối trụ $(H)$ là: $V=\pi R^2 h=\pi \cdot\left(\dfrac{3 \sqrt{2}}{2}\right)^2 \cdot 2 \sqrt{10}=9 \sqrt{10} \pi\left(\mathrm{cm}^3\right)$
Đáp án D.
